Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira
ou falsa
?
Se uma transformação linear
é um isomorfismo, então 0 não é autovalor de
;
Se uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: "Se uma transformação linear
é um isomorfismo, então 0 não é autovalor de
". Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre transformações lineares, isomorfismos e autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre transformação linear. Basicamente, é uma função
que leva vetores de um espaço vetorial para outro (ou para o mesmo) e que respeita duas propriedades: adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso,
vai de
para
.
Passo 3
Agora, o que é um isomorfismo? É uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não manda dois vetores diferentes para o mesmo lugar) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Em termos mais simples, um isomorfismo é uma transformação que tem uma inversa, ou seja, dá pra “desfazer” a transformação.
Passo 4
Vamos por partes: um autovalor de
é um número
tal que existe um vetor não nulo
em
que satisfaz
. Se
, isso significa que
, ou seja, o vetor
é mapeado para o vetor zero.
Passo 5
Se
é um isomorfismo, como ele tem uma inversa, isso implica que o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero mesmo. Ou seja, não existe um vetor não nulo
tal que
. Portanto, 0 não pode ser um autovalor de
.
Resposta
Verdadeira (V).