Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F)?
Se uma transformação linear T: R^3 R^3 é um isomorfismo, então 0 não é autovalor de T;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz: "Se uma transformação linear T: R^3 R^3 é um isomorfismo, então 0 não é autovalor de T ". Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre transformações lineares, isomorfismos e autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre transformação linear. Basicamente, é uma função T que leva vetores de um espaço vetorial para outro (ou para o mesmo) e que respeita duas propriedades: adição de vetores e multiplicação por escalar. No nosso caso, T vai de R^3 para R^3 .

Passo 3

Agora, o que é um isomorfismo? É uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não manda dois vetores diferentes para o mesmo lugar) e sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada). Em termos mais simples, um isomorfismo é uma transformação que tem uma inversa, ou seja, dá pra “desfazer” a transformação.

Passo 4

Vamos por partes: um autovalor de T é um número lambda tal que existe um vetor não nulo v em R^3 que satisfaz T(v) = lambda v . Se lambda = 0 , isso significa que T(v) = 0 , ou seja, o vetor v é mapeado para o vetor zero.

Passo 5

Se T é um isomorfismo, como ele tem uma inversa, isso implica que o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero mesmo. Ou seja, não existe um vetor não nulo v tal que T(v) = 0 . Portanto, 0 não pode ser um autovalor de T .

Resposta

Verdadeira (V).

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