Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que
para todo
.
Temos que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
para todo
. O conteúdo aqui é propriedade de logaritmos, e vamos usar a relação entre soma de logaritmos e logaritmo de produto.
Passo 2
Lembrando a propriedade básica de logaritmos: para
, temos
Passo 3
Se assumíssemos que
, então teríamos
o que implica
Rearranjando, isso dá
Ou seja, a igualdade só aconteceria para pares
Passo 4
Para ver que a afirmação não vale em geral, basta um contraexemplo. Por exemplo, tome
e
. Então
e
, logo
o que mostra que
Passo 5
Como a igualdade falha já nesse exemplo simples, concluímos que
não vale para todo
.
Resposta
Falsa. A igualdade só ocorreria se
, o que não é verdade em geral, como mostra o contraexemplo
.