Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que ln (a+b)=ln (a)+ln (b) para todo a, b>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se ln(a+b)=ln(a)+ln(b) para todo a,b>0. O conteúdo aqui é propriedade de logaritmos, e vamos usar a relação entre soma de logaritmos e logaritmo de produto.

Passo 2

Lembrando a propriedade básica de logaritmos: para a,b>0, temos
ln(a)+ln(b)=ln(ab)

Passo 3

Se assumíssemos que ln(a+b)=ln(a)+ln(b), então teríamos
ln(a+b)=ln(ab)
o que implica
a+b=ab
Rearranjando, isso dá
(a-1)(b-1)=1
Ou seja, a igualdade só aconteceria para pares (a,b) que satisfazem essa condição muito específica.

Passo 4

Para ver que a afirmação não vale em geral, basta um contraexemplo. Por exemplo, tome a=2 e b=3. Então
a+b=5 e ab=6, logo
ln(a+b)=ln(5)approx1,6094eln(a)+ln(b)=ln(2)+ln(3)approx0,6931+1,0986=1,7917,
o que mostra que ln(5)neqln(2)+ln(3).

Passo 5

Como a igualdade falha já nesse exemplo simples, concluímos que ln(a+b)=ln(a)+ln(b) não vale para todo a,b>0.

Resposta

Falsa. A igualdade só ocorreria se a+b=ab, o que não é verdade em geral, como mostra o contraexemplo a=2,b=3.

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