Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que .

Passo 1

O enunciado quer verificar a igualdade de valor absoluto
Conteúdo: definição de valor absoluto e estudo do sinal de uma função quadrática para montar sua forma em pedaços.

Passo 2

Definimos a função interna ao módulo
f(x)=x^2-4x+3
Para saber onde f(x) é positiva ou negativa, achamos suas raízes resolvendo
x^2-4x+3=0implies x=1 ou x=3

Passo 3

Fazemos o estudo de sinal de f(x)=(x-1)(x-3):
Para x<1, ambos os fatores são negativos em x<1, então f(x)>0.
Para 1, um fator é positivo e o outro negativo, logo f(x)<0.
Para x>3, ambos positivos, então f(x)>0.

Passo 4

Da definição de valor absoluto
|f(x)|=f(x),&f(x)>=0,-f(x),&f(x)<0
Logo
|x^2-4x+3|=x^2-4x+3,&xin(-infty,1]cup[3,infty),-(x^2-4x+3),&xin(1,3)

Passo 5

O enunciado dado afirma
|x^2-4x+3|=x^2-4x+3,&x>=0,-(x^2-4x+3),&x<0
Mas esse pedaçamento ignora que f(x) muda de sinal em x=1 e x=3, não em x=0. Por exemplo, em x=2>=0 temos f(2)=-1<0, então o enunciado erra.

Passo 6

Conclusão: a afirmação é falsa porque o critério de divisão deve usar onde x^2-4x+3 é não negativo ou negativo, e não o sinal de x.

Resposta

Falsa: o sinal de x^2-4x+3 muda em x=1 e x=3, não em x=0, de modo que a forma correta de |x^2-4x+3| é
|x^2-4x+3|=x^2-4x+3,&xin(-infty,1]cup[3,infty),-(x^2-4x+3),&xin(1,3)

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