Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que sen(a+b)=sen(a)+sen(b) para todo a, b in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se vale para todo a,binR a igualdade sen(a+b)=sen(a)+sen(b). Vamos usar a fórmula de adição de senos para analisar.

Passo 2

Para quaisquer a,binR, a identidade correta de soma de argumentos é:
sen(a+b)=senacos b + cos a,senb

Passo 3

A afirmação dada seria verdadeira apenas se
senacos b + cos a,senb = sena + senb
para todo a,b. Isso implicaria em condições excessivamente restritas sobre cos a e cos b, que não se cumprem em geral.

Passo 4

Para ver que a igualdade falha, basta um contraexemplo. Tomando a=b=tfracpi2 temos
$$\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\operatorname{sen}(\pi)=0,
senl(tfracpi2+tfracpi2r)=sen(pi)=0, \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})+\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1+1=2.
$$
Logo, sen(tfracpi2)+sen(tfracpi2)=1+1=2 .

Passo 5

Portanto, a igualdade proposta é falsa, pois não coincide com a fórmula de adição e falha já em um exemplo simples. A identidade correta é a apresentada no passo 2.

Resposta

Falsa, pois por exemplo para a=b=tfracpi2 temos sen(pi)=0 enquanto sen(tfracpi2)+sen(tfracpi2)=2.

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