Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Temos que
para todo
.
Temos que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se vale para todo
a igualdade
. Vamos usar a fórmula de adição de senos para analisar.
Passo 2
Para quaisquer
, a identidade correta de soma de argumentos é:
Passo 3
A afirmação dada seria verdadeira apenas se
para todo
Passo 4
Para ver que a igualdade falha, basta um contraexemplo. Tomando
temos
$$\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\operatorname{sen}(\pi)=0,
$$
Logo, .
Logo,
Passo 5
Portanto, a igualdade proposta é falsa, pois não coincide com a fórmula de adição e falha já em um exemplo simples. A identidade correta é a apresentada no passo 2.
Resposta
Falsa, pois por exemplo para
temos
enquanto
.