Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
sen^4 x-cos ^4 x+cos (2 x)=0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se para todo real x vale sin^4x - cos^4x + cos(2x)=0. O conteúdo envolve identidades trigonométricas: diferença de potências, a identidade pitagórica e a identidade de ângulo duplo.

Passo 2

Usando a identidade de diferença de quadrados para potências, temos:
[
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x).
]
Aplicando a identidade pitagórica sin^2 x + cos^2 x = 1, simplificamos a expressão:
[
\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x.
]

Passo 3

Reconhecendo a identidade de ângulo duplo para o cosseno cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x, reescrevemos: sin^2 x - cos^2 x = -cos(2x).

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
[
\sin^4 x - \cos^4 x + \cos(2x) = (\sin^2 x - \cos^2 x) + \cos(2x) = -\cos(2x) + \cos(2x) = 0,
]
portanto a igualdade vale para todo x.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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