Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se para todo real
vale
. O conteúdo envolve identidades trigonométricas: diferença de potências, a identidade pitagórica e a identidade de ângulo duplo.
Passo 2
Usando a identidade de diferença de quadrados para potências, temos:
[
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x).
]
Aplicando a identidade pitagórica , simplificamos a expressão:
[
\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x.
]
[
\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x).
]
Aplicando a identidade pitagórica
[
\sin^4 x - \cos^4 x = \sin^2 x - \cos^2 x.
]
Passo 3
Reconhecendo a identidade de ângulo duplo para o cosseno
, reescrevemos:
.
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
[
\sin^4 x - \cos^4 x + \cos(2x) = (\sin^2 x - \cos^2 x) + \cos(2x) = -\cos(2x) + \cos(2x) = 0,
]
portanto a igualdade vale para todo .
[
\sin^4 x - \cos^4 x + \cos(2x) = (\sin^2 x - \cos^2 x) + \cos(2x) = -\cos(2x) + \cos(2x) = 0,
]
portanto a igualdade vale para todo
Resposta
A afirmação é verdadeira.