Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique brevemente suas respostas.
(5pt) Dados quaisquer dois vetores u e v no R^2, sempre vale a seguinte relação
|u+v|=|u|+|v|

Passo 1

O enunciado pergunta se, dados quaisquer dois vetores u,vinR^2, sempre vale
|u+v|=|u|+|v|
O conteúdo necessário é a desigualdade triangular para normas induzidas por produto interno.

Passo 2

A desigualdade triangular diz que, em qualquer espaço com norma |cdot| induzida por produto interno, vale
|u+v|<= |u|+|v|

Passo 3

A igualdade em |u+v|= |u|+|v| ocorre se e somente se u e v são colineares e apontam no mesmo sentido (isto é, um é múltiplo escalar não-negativo do outro).

Passo 4

Como não é verdade que dois vetores quaisquer sejam sempre colineares no mesmo sentido, a igualdade não vale em geral. Por exemplo, se u=(1,0) e v=(0,1), então
|u+v|=raiz2neq 2=|u|+|v|

Resposta

Falsa.

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