Questão 3. (35pt) a) (12pt) Determine uma equação do tipo
a x+b y+c=0
cujas soluções formam a reta l que passa pelos pontos P1=(1,3) e P2=(-3,5)
b) (5 pt) Determine um vetor perpendicular à reta l do item a).
c) ( 8 pt ) Encontre uma parametrização para a reta m no R^2 que passa pelo ponto (0,-4) e é perpendicular à reta l anterior.
d) (10pt) Encontre o ponto de interseção entre as retas l e m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Questão 3 que envolve equações de retas no plano cartesiano. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação geral da reta, vetores perpendiculares e parametrização de retas. Vamos resolver passo a passo os itens a), b), c) e d).

Passo 2

Item a) - Queremos encontrar uma equação do tipo a x + b y + c = 0 que represente a reta l que passa pelos pontos P1 = (1, 3) e P2 = (-3, 5) .
Primeiro, vamos determinar a inclinação da reta l . A inclinação ( m ) entre dois pontos é dada por:
m = y2 - y1x2 - x1
Substituindo os valores:
m = 5 - 3-3 - 1 = 2-4 = -12
Agora que temos a inclinação, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Escolhendo o ponto P1 = (1, 3) :
y - 3 = -12(x - 1)
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2(y - 3) = -(x - 1)
Distribuindo:
2y - 6 = -x + 1
Rearranjando para a forma geral a x + b y + c = 0 :
x + 2y - 7 = 0
Então, a equação da reta l é:
x + 2y - 7 = 0

Passo 3

Item b) - Precisamos encontrar um vetor perpendicular à reta l .
Sabemos que, para a equação geral da reta a x + b y + c = 0 , o vetor n = (a, b) é um vetor normal, ou seja, perpendicular à reta.
Da equação que encontramos no item a):
x + 2y - 7 = 0
Os coeficientes a = 1 e b = 2 , então o vetor perpendicular é:
n = (1, 2)

Passo 4

Item c) - Vamos encontrar uma parametrização para a reta m que passa pelo ponto (0, -4) e é perpendicular à reta l .
Primeiro, como m é perpendicular a l , sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação de l . Daí:
ml = -12 Rightarrow mm = 2
A forma parametrizada de uma reta é:
r(t) = r0 + t cdot v
Onde r0 é um ponto na reta e v é o vetor diretor.
Para a reta m :
  • Ponto r0 = (0, -4)
  • Vetor diretor v pode ser qualquer vetor na direção da reta. Como a inclinação é 2, podemos usar v = (1, 2) .
Então, a parametrização fica:
r(t) = (0, -4) + t cdot (1, 2) = (t, -4 + 2t)

Passo 5

Item d) - Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas l e m .
Temos as equações:
l: x + 2y - 7 = 0
m: x = t, y = -4 + 2t
Substituindo as expressões de x e y da reta m na equação da reta l :
t + 2(-4 + 2t) - 7 = 0
Simplificando:
t - 8 + 4t - 7 = 0
5t - 15 = 0 Rightarrow t = 3
Agora, substituindo t = 3 nas equações de x e y :
x = 3
y = -4 + 2(3) = -4 + 6 = 2
Portanto, o ponto de interseção é (3, 2) .

Resposta

A equação da reta l é x + 2y - 7 = 0 . Um vetor perpendicular a l é n = (1, 2) . A parametrização da reta m é r(t) = (t, -4 + 2t) . As retas l e m se interceptam no ponto (3, 2) .

Exercícios relacionados