Questão 3. (35pt) a) (12pt) Determine uma equação do tipo
cujas soluções formam a reta
que passa pelos pontos
e
b)
Determine um vetor perpendicular à reta
do item a).
c) ( 8 pt ) Encontre uma parametrização para a reta
no
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
anterior.
d) (10pt) Encontre o ponto de interseção entre as retas
e
.
b)
c) ( 8 pt ) Encontre uma parametrização para a reta
d) (10pt) Encontre o ponto de interseção entre as retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver a Questão 3 que envolve equações de retas no plano cartesiano. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica, como equação geral da reta, vetores perpendiculares e parametrização de retas. Vamos resolver passo a passo os itens a), b), c) e d).
Passo 2
Item a) - Queremos encontrar uma equação do tipo
que represente a reta
que passa pelos pontos
e
.
Primeiro, vamos determinar a inclinação da reta
. A inclinação (
) entre dois pontos é dada por:
Substituindo os valores:
Agora que temos a inclinação, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Escolhendo o ponto
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Distribuindo:
Rearranjando para a forma geral
:
Então, a equação da reta
é:
Passo 3
Item b) - Precisamos encontrar um vetor perpendicular à reta
.
Sabemos que, para a equação geral da reta
, o vetor
é um vetor normal, ou seja, perpendicular à reta.
Da equação que encontramos no item a):
Os coeficientes
e
, então o vetor perpendicular é:
Passo 4
Item c) - Vamos encontrar uma parametrização para a reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
.
Primeiro, como
é perpendicular a
, sua inclinação será o negativo do inverso da inclinação de
. Daí:
A forma parametrizada de uma reta é:
Onde
é um ponto na reta e
é o vetor diretor.
Para a reta
:
- Ponto
- Vetor diretor
pode ser qualquer vetor na direção da reta. Como a inclinação é 2, podemos usar .
Então, a parametrização fica:
Passo 5
Item d) - Agora, vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas
e
.
Temos as equações:
Substituindo as expressões de
e
da reta
na equação da reta
:
Simplificando:
Agora, substituindo
nas equações de
e
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Resposta
A equação da reta
é
. Um vetor perpendicular a
é
. A parametrização da reta
é
. As retas
e
se interceptam no ponto
.