Determine se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Demonstrando as verdadeiras e apresentando um contra exemplo para as falsas.
(a) Por três pontos distintos passa um único plano.
(b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
(c) Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então ela intersecta a outra.
(d) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
(e) Se
e
são perpendiculares a
, então
e
são paralelas.
(f) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
(g) Se uma reta
é perpendicular a uma reta
e
é perpendicular a uma reta
, então
é perpendicular a
.
(h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
(a) Por três pontos distintos passa um único plano.
(b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
(c) Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então ela intersecta a outra.
(d) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
(e) Se
(f) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
(g) Se uma reta
(h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos oito afirmações sobre pontos, retas e planos em geometria espacial. Precisamos verificar para cada item (a)–(h) se a afirmação é verdadeira, apresentando demonstração baseada em definições de plano, retas paralelas, retas reversas, perpendicularidade e contraexemplo para as falsas.
Passo 2
(a) Por três pontos distintos passa um único plano.
Esta afirmação requer a condição de não colinearidade. Se três pontos são distintos mas colineares, existem infinitos planos contendo essa reta. Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo: escolhemos pontos colineares sobre uma reta
. Qualquer plano que contenha
passa por
.
Esta afirmação requer a condição de não colinearidade. Se três pontos são distintos mas colineares, existem infinitos planos contendo essa reta. Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo: escolhemos pontos
Passo 3
(b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
Cada tripla de pontos não coplanares define um plano único. Como há maneiras de escolher três pontos dentre quatro, obtemos quatro planos distintos. Logo a afirmação é verdadeira.
Cada tripla de pontos não coplanares define um plano único. Como há
Passo 4
(c) Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então ela intersecta a outra.
Duas retas paralelas e
determinam um plano
. Uma reta
que intersecta
produz o plano
determinado por
e
. Se
, então
não pertence a
e não intersecta
. Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo: empilhe e
paralelas num plano horizontal e escolha
que cruza
num plano inclinado, sem alcançar
.
Duas retas paralelas
Contraexemplo: empilhe
Passo 5
(d) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
Retas reversas não são coplanares. Podemos escolher um plano contendo a primeira reta e paralelo à segunda, de modo que não haja interseção. Assim a afirmação é falsa.
Contraexemplo: seja e
reversas e
um plano que contém
e é paralelo a
; então
.
Retas reversas não são coplanares. Podemos escolher um plano contendo a primeira reta e paralelo à segunda, de modo que não haja interseção. Assim a afirmação é falsa.
Contraexemplo: seja
Passo 6
(e) Se uma reta
e uma reta
são perpendiculares a
, então
e
são paralelas.
Exemplo em : tome
como eixo
,
como eixo
em
e
como eixo
em
. Ambas são perpendiculares a
mas são retas reversas (não coplanares), logo não paralelas. A afirmação é falsa.
Exemplo em
Passo 7
(f) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
Para que uma reta seja perpendicular ao plano
, basta que ela seja perpendicular a duas linhas distintas em
que se intersectem no ponto
. Pela definição de perpendicularidade,
intersecta e forma ângulo reto com essas retas, gerando planos perpendiculares que implicam
. Logo a afirmação é verdadeira.
Para que uma reta
Passo 8
(g) Se uma reta
é perpendicular a uma reta
e
é perpendicular a uma reta
, então
é perpendicular a
.
A perpendicularidade não é transitiva no espaço. Contraexemplo: eixo
,
eixo
em
,
eixo
em
. Temos
e
mas
e
são retas reversas, não se intersectam e não são perpendiculares. Portanto a afirmação é falsa.
A perpendicularidade não é transitiva no espaço. Contraexemplo:
Passo 9
(h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
Se e
, então
contém uma reta
perpendicular a
. Como toda reta perpendicular a
é também perpendicular a
, segue
. Logo a afirmação é verdadeira.
Se
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Verdadeira