Determine se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Demonstrando as verdadeiras e apresentando um contra exemplo para as falsas.
(a) Por três pontos distintos passa um único plano.
(b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
(c) Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então ela intersecta a outra.
(d) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
(e) Se r e s são perpendiculares a t, então r e s são paralelas.
(f) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
(g) Se uma reta r é perpendicular a uma reta s e s é perpendicular a uma reta t, então r é perpendicular a t.
(h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos oito afirmações sobre pontos, retas e planos em geometria espacial. Precisamos verificar para cada item (a)–(h) se a afirmação é verdadeira, apresentando demonstração baseada em definições de plano, retas paralelas, retas reversas, perpendicularidade e contraexemplo para as falsas.

Passo 2

(a) Por três pontos distintos passa um único plano.
Esta afirmação requer a condição de não colinearidade. Se três pontos são distintos mas colineares, existem infinitos planos contendo essa reta. Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo: escolhemos pontos A,B,C colineares sobre uma reta r. Qualquer plano que contenha r passa por A,B,C.

Passo 3

(b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
Cada tripla de pontos não coplanares define um plano único. Como há binom43=4 maneiras de escolher três pontos dentre quatro, obtemos quatro planos distintos. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 4

(c) Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então ela intersecta a outra.
Duas retas paralelas r1 e r2 determinam um plano alpha. Uma reta l que intersecta r1 produz o plano beta determinado por l e r1. Se betaneqalpha, então r2 não pertence a beta e não intersecta l. Portanto a afirmação é falsa.
Contraexemplo: empilhe r1 e r2 paralelas num plano horizontal e escolha l que cruza r1 num plano inclinado, sem alcançar r2.

Passo 5

(d) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra.
Retas reversas não são coplanares. Podemos escolher um plano contendo a primeira reta e paralelo à segunda, de modo que não haja interseção. Assim a afirmação é falsa.
Contraexemplo: seja s e t reversas e alpha um plano que contém s e é paralelo a t; então alphacap t=emptyset.

Passo 6

(e) Se uma reta r e uma reta s são perpendiculares a t, então r e s são paralelas.
Exemplo em R^3: tome t como eixo z, r como eixo x em z=0 e s como eixo y em z=1. Ambas são perpendiculares a t mas são retas reversas (não coplanares), logo não paralelas. A afirmação é falsa.

Passo 7

(f) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
Para que uma reta l seja perpendicular ao plano alpha, basta que ela seja perpendicular a duas linhas distintas em alpha que se intersectem no ponto P=alphacap l. Pela definição de perpendicularidade, l intersecta e forma ângulo reto com essas retas, gerando planos perpendiculares que implicam lperpalpha. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 8

(g) Se uma reta r é perpendicular a uma reta s e s é perpendicular a uma reta t, então r é perpendicular a t.
A perpendicularidade não é transitiva no espaço. Contraexemplo: s eixo z, r eixo x em z=0, t eixo y em z=1. Temos rperp s e sperp t mas r e t são retas reversas, não se intersectam e não são perpendiculares. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 9

(h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular ao outro.
Se alphaparal<=lbeta e gammaperpalpha, então gamma contém uma reta l perpendicular a alpha. Como toda reta perpendicular a alpha é também perpendicular a beta, segue gammaperpbeta. Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa
(f) Verdadeira
(g) Falsa
(h) Verdadeira

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