Encontre lim x infty raizx^2+6 x-x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite, quando x tende para o infinito, da expressão raizx^2 + 6x - x . Estamos lidando com cálculo de limites, especialmente envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver isso, vamos manipular a expressão para simplificar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: x^2 + 6x . Quando x tende para o infinito, x^2 cresce muito mais rápido que 6x , então o termo 6x se torna relativamente pequeno. Porém, para calcular o limite, precisamos considerar os dois termos.

Passo 3

Vamos fatorar x^2 dentro da raiz para facilitar a simplificação:
raizx^2 + 6x = raizx^2(1 + 6x) = xraiz1 + 6x
Aqui, usamos a propriedade raiza cdot b = raiza cdot raizb .

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
raizx^2 + 6x - x = xraiz1 + 6x - x = x(raiz1 + 6x - 1)

Passo 5

Para simplificar raiz1 + 6x , podemos usar a expansão de binômio para raiz1 + varepsilon approx 1 + varepsilon2 quando varepsilon é pequeno. Nesse caso, como x tende ao infinito, 6x tende a zero, então:
raiz1 + 6x approx 1 + 3x

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão:
x(raiz1 + 6x - 1) approx x(1 + 3x - 1) = x(3x) = 3

Resposta

O limite é 3 .

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