Determine lim x +infty 5 x^2+2 x+27 x^2-7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. O exercício pede para encontrar o limite quando x tende a mais infinito de 5x^2 + 2x + 27x^2 - 7. Para isso, vamos precisar entender como se comportam os termos de maior grau nos polinômios quando x cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, observe que tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é x^2 . Isso significa que, quando x fica muito grande, esses termos vão dominar o comportamento da fração. Os outros termos, como 2x , 2 e -7 , se tornam relativamente insignificantes comparados a x^2 .

Passo 3

Para simplificar, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por x^2 , que é o maior grau presente:
5x^2 + 2x + 27x^2 - 7 = 5 + 2x + 2x^27 - 7x^2

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada fração menor quando x tende a mais infinito:
  • 2x tende a 0, porque quanto maior x , menor fica o valor da fração.
  • 2x^2 também tende a 0 pelo mesmo motivo.
  • 7x^2 igualmente tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:
5 + 0 + 07 - 0 = 57

Resposta

O limite é 57.

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