Determine, em cada caso, V cup W e V+W :
V=(x, y, z) in R^3 ; x=y e W=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z;

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de R^3:
V=(x,y,z)inR^3mid x=y, W=(x,y,z)inR^3mid x=y=z,
e pede Vcup W e V+W. Vamos usar a definição de união e de soma de subespaços.

Passo 2

Parametrizamos cada conjunto:
V=(t,t,s)mid t,sinR,
W=(u,u,u)mid uinR

Passo 3

Como todo (u,u,u)in W satisfaz u=u, temos Wsubset V. Logo
Vcup W=V

Passo 4

Pela definição,
V+W=v+wmid vin V,;win W
Tomando v=(t,t,s) e w=(u,u,u) obtemos
v+w=(t+u,;t+u,;s+u)=(alpha,alpha,beta),
onde alpha=t+u e beta=s+u percorrem todo R. Portanto
V+W=(alpha,alpha,beta)midalpha,betainR=V

Resposta

Vcup W=V e V+W=V.

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