Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de P3 :
W=p(x)=a+b x+c x^2 ; c=a+b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto W = p(x) = a + b x + c x^2 ; c = a + b é um subespaço vetorial do espaço das polinômios de grau até 3, que a gente chama de P3. Pra isso, vamos precisar lembrar dos requisitos básicos para um subespaço: ter o vetor zero, ser fechado em adição e ser fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o zero está em W . O vetor zero em P3 é o polinômio p(x) = 0 . Para que isso esteja em W , temos que existir valores de a, b e c que façam a + b x + c x^2 = 0 para todo x. Isso só é possível se a = 0 , b = 0 e c = 0 . E como c = a + b , se a e b são zero, então c também é zero. Então, o zero está em W .

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado em adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios em W e somarmos, o resultado ainda está em W . Suponha que temos p1(x) = a1 + b1 x + c1 x^2 e p2(x) = a2 + b2 x + c2 x^2 em W . Como c1 = a1 + b1 e c2 = a2 + b2 , somando temos:
p1(x) + p2(x) = (a1 + a2) + (b1 + b2)x + (c1 + c2)x^2
E:
c1 + c2 = (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1 + a2) + (b1 + b2)
Isso mostra que c = a + b para o polinômio somado, então a soma está em W .

Passo 4

Por último, vamos ver se W é fechado em multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um polinômio em W e multiplicarmos por um número k , o resultado ainda está em W . Seja p(x) = a + b x + c x^2 em W , então c = a + b . Multiplicando por k :
k cdot p(x) = (k a) + (k b) x + (k c) x^2
E:
k c = k(a + b) = (k a) + (k b)
Então, c do polinômio multiplicado também satisfaz c = a + b , ou seja, k cdot p(x) está em W .

Resposta

Sim, o conjunto W é um subespaço vetorial de P3 .

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