Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço das polinômios de grau até 3, que a gente chama de
. Pra isso, vamos precisar lembrar dos requisitos básicos para um subespaço: ter o vetor zero, ser fechado em adição e ser fechado em multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o zero está em
. O vetor zero em
é o polinômio
. Para que isso esteja em
, temos que existir valores de
,
e
que façam
para todo
. Isso só é possível se
,
e
. E como
, se
e
são zero, então
também é zero. Então, o zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado em adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios em
e somarmos, o resultado ainda está em
. Suponha que temos
e
em
. Como
e
, somando temos:
E:
Isso mostra que
para o polinômio somado, então a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado em multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um polinômio em
e multiplicarmos por um número
, o resultado ainda está em
. Seja
em
, então
. Multiplicando por
:
E:
Então,
do polinômio multiplicado também satisfaz
, ou seja,
está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.