Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de P3 :
W=p(x)=a+b x+c x^2 ; a=c=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto W = p(x) = a + b x + c x^2 ; ; ; a = c = 0 é um subespaço vetorial de P3 , que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para isso, vamos revisar os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles ao conjunto W .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se W não está vazio, ou seja, se contém o vetor zero. O vetor zero em P3 é o polinômio p(x) = 0 . Substituindo a = 0 e c = 0 na definição de W :
p(x) = 0 + b x + 0 cdot x^2 = b x
Para que p(x) = 0 , precisamos que b = 0 . Isso significa que o polinômio zero pertence a W , então W não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios qualquer em W e somá-los, o resultado também deve estar em W .
Sejam p1(x) = b1 x e p2(x) = b2 x dois polinômios em W . A soma deles é:
p1(x) + p2(x) = b1 x + b2 x = (b1 + b2) x
Como o resultado também tem a forma b x , com b = b1 + b2 , ele pertence a W . Portanto, W é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um polinômio em W e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W .
Seja p(x) = b x um polinômio em W e k um escalar real. A multiplicação por escalar é:
k cdot p(x) = k cdot b x = (k b) x
Como o resultado também tem a forma b x , com b = k b , ele pertence a W . Portanto, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto W é um subespaço vetorial de P3 .

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