Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 3. Para isso, vamos revisar os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles ao conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio, ou seja, se contém o vetor zero. O vetor zero em
é o polinômio
. Substituindo
e
na definição de
:
Para que
, precisamos que
. Isso significa que o polinômio zero pertence a
, então
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois polinômios qualquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
dois polinômios em
. A soma deles é:
Como o resultado também tem a forma
, com
, ele pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos um polinômio em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Seja
um polinômio em
e
um escalar real. A multiplicação por escalar é:
Como o resultado também tem a forma
, com
, ele pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.