Determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
,
Dado um PVI do tipo
,
onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
contendo o ponto
(ou seja,
), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução
para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso,
Dado um PVI do tipo
onde
Passo 1
O enunciado dá o PVI
e pede o maior intervalo aberto contendo
em que as funções envolvidas sejam contínuas. Pelo teorema de existência e unicidade para ECs lineares de segunda ordem, basta identificar onde
são contínuas e então tomar a componente conexa que contenha .
são contínuas e então tomar a componente conexa que contenha
Passo 2
Analisando continuidade:
-
é contínua para todo . -
é contínua para todo . -
é contínua sempre que , ou seja, em e em , mas não em .
Passo 3
A interseção dos domínios de continuidade de
,
e
é
Como
está em
, a maior componente conexa contendo
é
.