Determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
y^prime prime+(cos t) y^prime+3(ln |t|) y=0, y(2)=2, y^prime(2)=1
Dado um PVI do tipo
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g(t), y(t0)=y0, y^prime(t0)=y0^prime,
onde p(t), q(t) e g(t) são funções contínuas em um intervalo aberto I subset R contendo o ponto t0 (ou seja, t0 in I ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y=phi(t) para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso,

Passo 1

O enunciado dá o PVI
y'' + (cos t),y' + 3(ln|t|),y = 0, y(2)=2,;y'(2)=1,
e pede o maior intervalo aberto contendo t0=2 em que as funções envolvidas sejam contínuas. Pelo teorema de existência e unicidade para ECs lineares de segunda ordem, basta identificar onde
;p(t)=cos t,;q(t)=3ln|t|,;g(t)=0
são contínuas e então tomar a componente conexa que contenha t0.

Passo 2

Analisando continuidade:
  • cos t é contínua para todo tinR.
  • 0 é contínua para todo tinR.
  • ln|t| é contínua sempre que |t|>0, ou seja, em (-infty,0) e em (0,infty), mas não em t=0.

Passo 3

A interseção dos domínios de continuidade de cos t, ln|t| e 0 é
( -infty,0)cup(0,infty)
Como t0=2 está em (0,infty), a maior componente conexa contendo 2 é
(0,infty).

Resposta

(0,infty)

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