- Determine em cada caso,
e
. Quais das somas são diretas?
(c)
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para os subespaços
e
de
:
- Determinar
. - Determinar
. - Dizer se a soma é direta (isto é, se
).
As informações dadas são:
-
. -
.
Passo 2
Entender e parametrizar
.
A condição descreve vetores da forma
. Colocando um parâmetro
para
, obtemos
A condição
Explicação didática: isso mostra que
é uma reta através da origem (um subespaço unidimensional) gerada pelo vetor
. Portanto
.
Passo 3
Parametrizar
.
A equação permite escrever qualquer vetor de
como
A equação
Assim
Explicação didática: escolhemos
e
como parâmetros porque a equação relaciona
com
. Os vetores
e
geram a superfície descrita por
, que é um plano passando pela origem. Logo
.
Passo 4
Calcular
resolvendo para vetores que pertençam a ambos.
Se , então existe
tais que
Se
Igualando componentes obtemos o sistema
Substituindo
e
na terceira equação dá
. Portanto o único vetor comum é o vetor nulo:
Explicação didática: interseção trivial significa que não há vetor não-nulo que esteja simultaneamente na reta
e no plano
.
Passo 5
Concluir sobre direcionalidade (soma direta) a partir da interseção.
Definição usada: a soma é direta (escreve-se
) se, e somente se,
. Como acabamos de achar
, a soma será direta. Mas ainda falta dizer qual é
.
Definição usada: a soma
Passo 6
Determinar
como o subespaço gerado pelos geradores de
e
.
Pelo que temos,
Pelo que temos,
Agora verificamos se esses três vetores geram todo
. Uma forma é checar independência linear: suponha escalares
tais que
Isso dá o sistema por componentes:
Das duas primeiras equações vem
e
; então a terceira dá
. Logo os três vetores são linearmente independentes e, como são três vetores em
, formam uma base de
. Portanto
Explicação didática: alternativamente poderia-se usar a fórmula de dimensão
portanto a soma tem dimensão
e, em
, só pode ser
.
Passo 7
Dar uma decomposição explícita de qualquer vetor e comentar unicidade (útil na prova).
Dado , podemos escrever
com
Dado
pois então
A unicidade dessa decomposição decorre do fato de a interseção ser apenas o vetor
: se houvesse duas decomposições a diferença seria um vetor não-nulo em
, o que não ocorre. Isso reforça que a soma é direta.