1. Determine em cada caso, W_{1} \cap W_{2} e W_{1}+W_{2}. Quais das somas são diretas?
(c) W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=-x-3 y\right\} e W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para os subespaços W_{1} e W_{2} de \mathbb{R}^{3}:
  • Determinar W_{1}\cap W_{2}.
  • Determinar W_{1}+W_{2}.
  • Dizer se a soma é direta (isto é, se W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}+W_{2}).
As informações dadas são:
  • W_{1}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z=-x-3y\right\}.
  • W_{2}=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=y=0\right\}.

Passo 2

Entender e parametrizar W_{2}.
A condição x=y=0 descreve vetores da forma (0,0,z). Colocando um parâmetro t para z, obtemos
W_{2}=\{(0,0,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Explicação didática: isso mostra que W_{2} é uma reta através da origem (um subespaço unidimensional) gerada pelo vetor (0,0,1). Portanto \dim W_{2}=1.

Passo 3

Parametrizar W_{1}.
A equação z=-x-3y permite escrever qualquer vetor de W_{1} como
(x,y,z)=(x,y,-x-3y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-3).
Assim
W_{1}=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-3)\}.
Explicação didática: escolhemos x e y como parâmetros porque a equação relaciona z com x,y. Os vetores (1,0,-1) e (0,1,-3) geram a superfície descrita por z=-x-3y, que é um plano passando pela origem. Logo \dim W_{1}=2.

Passo 4

Calcular W_{1}\cap W_{2} resolvendo para vetores que pertençam a ambos.
Se v\in W_{1}\cap W_{2}, então existe x,y,t\in\mathbb{R} tais que
v=(x,y,-x-3y)=(0,0,t).
Igualando componentes obtemos o sistema
x=0,\qquad y=0,\qquad -x-3y=t.
Substituindo x=0 e y=0 na terceira equação dá t=0. Portanto o único vetor comum é o vetor nulo:
W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0,0)\}.
Explicação didática: interseção trivial significa que não há vetor não-nulo que esteja simultaneamente na reta x=y=0 e no plano z=-x-3y.

Passo 5

Concluir sobre direcionalidade (soma direta) a partir da interseção.
Definição usada: a soma W_{1}+W_{2} é direta (escreve-se W_{1}\oplus W_{2}) se, e somente se, W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Como acabamos de achar W_{1}\cap W_{2}=\{0\}, a soma será direta. Mas ainda falta dizer qual é W_{1}+W_{2}.

Passo 6

Determinar W_{1}+W_{2} como o subespaço gerado pelos geradores de W_{1} e W_{2}.
Pelo que temos,
W_{1}+W_{2}=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-3),(0,0,1)\}.
Agora verificamos se esses três vetores geram todo \mathbb{R}^{3}. Uma forma é checar independência linear: suponha escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(1,0,-1)+\beta(0,1,-3)+\gamma(0,0,1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema por componentes:
\alpha=0,\qquad \beta=0,\qquad -\alpha-3\beta+\gamma=0.
Das duas primeiras equações vem \alpha=0 e \beta=0; então a terceira dá \gamma=0. Logo os três vetores são linearmente independentes e, como são três vetores em \mathbb{R}^{3}, formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Portanto
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3}.
Explicação didática: alternativamente poderia-se usar a fórmula de dimensão
\dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2})=2+1-0=3,
portanto a soma tem dimensão 3 e, em \mathbb{R}^{3}, só pode ser \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Dar uma decomposição explícita de qualquer vetor e comentar unicidade (útil na prova).
Dado v=(a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}, podemos escrever v=w_{1}+w_{2} com
w_{1}=(a,b,-a-3b)\in W_{1},\qquad w_{2}=(0,0,c+a+3b)\in W_{2},
pois então
w_{1}+w_{2}=(a,b,-a-3b)+(0,0,c+a+3b)=(a,b,c).
A unicidade dessa decomposição decorre do fato de a interseção ser apenas o vetor 0: se houvesse duas decomposições a diferença seria um vetor não-nulo em W_{1}\cap W_{2}, o que não ocorre. Isso reforça que a soma é direta.

Resposta

W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0,0)\}
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{3} (a soma é direta, ou seja W_{1}\oplus W_{2}=\mathbb{R}^{3}).

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