1. Determine em cada caso, W_{1} \cap W_{2} e W_{1}+W_{2}. Quais das somas são diretas?
(d) W_{1}=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-\check{w}=0\right\} e W_{2}=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=y=z=w\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar \,W_{1}\cap W_{2}\, e \,W_{1}+W_{2}\, e dizer se a soma é direta, para os subespaços de \mathbb{R}^{4}
W_{1}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+2y-\check{w}=0\}
e
W_{2}=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=y=z=w\}.
Observação: vou assumir que o símbolo \check{w} no enunciado representa simplesmente a coordenada w. Se essa interpretação estiver errada o resultado pode mudar, mas com essa leitura a equação de W_{1} é x+2y-w=0.
Informações relevantes dadas:
  • W_{1} é o conjunto de vetores em \mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação linear \,x+2y-w=0.
  • W_{2} é a reta de vetores com todas as coordenadas iguais, isto é vetores da forma (t,t,t,t).
  • O que se pede: \,W_{1}\cap W_{2}, \,W_{1}+W_{2} e se a soma é direta (isto é, se W_{1}\cap W_{2}=\{0\}).

Passo 2

Parametrizar W_{1}. A condição para (x,y,z,w)\in W_{1} é
x+2y-w=0.
Isolando x temos
x=-2y+w.
Logo um vetor genérico de W_{1} pode ser escrito como
(x,y,z,w)=(-2y+w,\;y,\;z,\;w).
Agora escrevemos isso como combinação linear das coordenadas livres y,z,w:
(-2y+w,\;y,\;z,\;w)=y(-2,1,0,0)+z(0,0,1,0)+w(1,0,0,1).
Portanto W_{1} é gerado pelos vetores
v_{1}=(-2,1,0,0),\qquad v_{2}=(0,0,1,0),\qquad v_{3}=(1,0,0,1).
Explicação didática: uma equação linear em quatro incógnitas usualmente deixa três graus de liberdade — por isso W_{1} tem dimensão 3. Para ver que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes, suponha que a v_{1}+b v_{2}+c v_{3}=0. Em coordenadas:
(-2a+c,\;a,\;b,\;c)=(0,0,0,0).
Da segunda coordenada vem a=0; da terceira b=0; da quarta c=0. Logo a=b=c=0, o que mostra independência. Conclusão:
\dim(W_{1})=3.

Passo 3

Parametrizar W_{2}. Por definição todo vetor de W_{2} tem a forma
(t,t,t,t)=t(1,1,1,1).
Assim W_{2} é a reta gerada por u=(1,1,1,1) e
\dim(W_{2})=1.

Passo 4

Calcular a interseção W_{1}\cap W_{2}. Seja um vetor em W_{2}, escrevemos (t,t,t,t). Para que esse vetor esteja também em W_{1} deve satisfazer a equação de W_{1}:
x+2y-w = t + 2t - t = 2t.
A condição x+2y-w=0 força 2t=0, ou seja t=0. Portanto o único vetor de W_{2} que pertence a W_{1} é o vetor nulo. Conclusão:
W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0,0,0)\}.
Interpretação: a interseção é trivial (apenas o vetor zero), então a soma W_{1}+W_{2} será direta (ver Passo 6).

Passo 5

Calcular a soma W_{1}+W_{2} pela fórmula de dimensão (fórmula de Grassmann). Para quaisquer subespaços A,B vale
\dim(A+B)=\dim(A)+\dim(B)-\dim(A\cap B).
Aqui temos \dim(W_{1})=3, \dim(W_{2})=1 e \dim(W_{1}\cap W_{2})=0. Logo
\dim(W_{1}+W_{2})=3+1-0=4.
Como W_{1}+W_{2} é um subespaço de \mathbb{R}^{4} com dimensão 4, ele coincide com todo \mathbb{R}^{4}:
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.

Passo 6

Verificação construtiva (opcional, mas útil para a prova): mostrar como escrever um vetor arbitrário (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^{4}\) como soma de um vetor de \(W_{1}\) e um de \(W_{2}\). Procuramos \(y,z,w,t\) tais que \[(-2y+w,\;y,\;z,\;w)+t(1,1,1,1)=(a,b,c,d).
Isso dá o sistema
\begin{cases} -2y+w+t = a,\\[4pt] y+t = b,\\[4pt] z+t = c,\\[4pt] w+t = d. \end{cases}
Das duas últimas equações tiramos z=c-t\] e \(w=d-t. Da segunda y=b-t. Substituindo na primeira:
-2(b-t)+(d-t)+t = a \quad\Rightarrow\quad -2b+2t+d = a.
Isolando t:
t=\dfrac{a+2b-d}{2}.
Com esse t obtem-se y=b-t,\;z=c-t,\;w=d-t. Assim todo (a,b,c,d) é soma de algo em W_{1} (o vetor com coordenadas (-2y+w,y,z,w)) e algo em W_{2} (o vetor t(1,1,1,1)), confirmando W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.]

Resposta

W_{1}\cap W_{2}=\{(0,0,0,0)\}
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}
A soma é direta (sim).

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