1. Sejam W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Vimos que W_{1}+W_{2} é um subespaço de V. Mostre que W_{1}+W_{2} é o menor subespaço que contém W_{1} e W_{2}, no sentido de que qualquer subespaço que contenha W_{1} e W_{2} tem que conter W_{1}+W_{2}.

Passo 1

O enunciado dá que W_{1} e W_{2} são subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Pede-se para mostrar que W_{1}+W_{2} é o menor subespaço que contém W_{1} e W_{2}, isto é, que qualquer subespaço de V que contenha W_{1} e W_{2} também contém W_{1}+W_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • W_{1} e W_{2} são subespaços de V.
  • W_{1}+W_{2} é definido (usualmente) como o conjunto de todas as somas de um vetor de W_{1} com um vetor de W_{2}:
W_{1}+W_{2}=\{\,w_{1}+w_{2}\mid w_{1}\in W_{1},\; w_{2}\in W_{2}\,\}.
O que devemos provar:
  • Primeiro, que W_{1}+W_{2} é um subespaço de V (fechamento em soma, fechamento em multiplicação escalar e contém o vetor zero).
  • Segundo, que se U é qualquer subespaço de V com W_{1}\subseteq U e W_{2}\subseteq U, então W_{1}+W_{2}\subseteq U. Isso mostra a propriedade de “menor” no sentido pedido.

Passo 2

Definição clara e interpretação do que é preciso usar.
Definição de W_{1}+W_{2}:
W_{1}+W_{2}=\{\,w_{1}+w_{2}\mid w_{1}\in W_{1},\; w_{2}\in W_{2}\,\}.
Isto significa que um vetor x pertence a W_{1}+W_{2} exatamente quando existe w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2} tais que x=w_{1}+w_{2}.
Lembrete sobre subespaço: um subconjunto S de V é subespaço se e somente se
  1. 0\in S;
  2. para quaisquer u,v\in S, tem-se u+v\in S (fechamento por soma);
  3. para qualquer escalar \alpha e qualquer u\in S, tem-se \alpha u\in S (fechamento por multiplicação escalar).
Vou usar essas três propriedades para verificar que W_{1}+W_{2} é subespaço, e depois uso a definição para a propriedade de minimalidade.

Passo 3

Mostrar que W_{1}+W_{2} contém o vetor zero.
Como W_{1} é subespaço, 0\in W_{1}. Como W_{2} é subespaço, 0\in W_{2}. Então
0 = 0 + 0 \in W_{1}+W_{2},
pois 0 pode ser escrito como soma de um elemento de W_{1} com um elemento de W_{2}. Isso verifica a propriedade 1 da definição de subespaço.

Passo 4

Mostrar fechamento por soma: se x,y\in W_{1}+W_{2} então x+y\in W_{1}+W_{2}.
Escreva x e y na forma exigida pela definição:
x = w_{1}+w_{2},\quad y = w_{1}'+w_{2}',
com w_{1},w_{1}'\in W_{1} e w_{2},w_{2}'\in W_{2}.
Então, usando associatividade e comutatividade da soma,
x+y = (w_{1}+w_{2}) + (w_{1}'+w_{2}') = (w_{1}+w_{1}') + (w_{2}+w_{2}').
Como W_{1} é subespaço, w_{1}+w_{1}'\in W_{1}. Como W_{2} é subespaço, w_{2}+w_{2}'\in W_{2}. Logo x+y é soma de um elemento de W_{1} com um elemento de W_{2}, isto é,
x+y \in W_{1}+W_{2}.
Portanto W_{1}+W_{2} é fechado sob soma.

Passo 5

Mostrar fechamento por multiplicação escalar: se \alpha é escalar e x\in W_{1}+W_{2} então \alpha x\in W_{1}+W_{2}.
Escreva x como x=w_{1}+w_{2} com w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2}. Então
\alpha x = \alpha(w_{1}+w_{2}) = \alpha w_{1} + \alpha w_{2}.
Como W_{1} e W_{2} são subespaços, \alpha w_{1}\in W_{1} e \alpha w_{2}\in W_{2}. Assim \alpha x é soma de um vetor de W_{1} com um vetor de W_{2}, logo
\alpha x \in W_{1}+W_{2}.
Portanto W_{1}+W_{2} é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Concluir que W_{1}+W_{2} é subespaço e provar a minimalidade.
Pelas três propriedades verificadas (contém 0, fechado por soma e por escalares), W_{1}+W_{2} é um subespaço de V.
Agora provar que é o menor subespaço que contém W_{1} e W_{2}. Seja U um subespaço de V tal que W_{1}\subseteq U e W_{2}\subseteq U. Queremos mostrar que W_{1}+W_{2}\subseteq U.
Tome um vetor arbitrário z\in W_{1}+W_{2}. Pela definição de soma, existem w_{1}\in W_{1} e w_{2}\in W_{2} com z=w_{1}+w_{2}. Como W_{1}\subseteq U e W_{2}\subseteq U, temos w_{1}\in U e w_{2}\in U. E porque U é subespaço, é fechado sob soma, logo z=w_{1}+w_{2}\in U. Como z foi escolhido arbitrariamente em W_{1}+W_{2}, isso prova W_{1}+W_{2}\subseteq U.
Isto mostra exatamente que qualquer subespaço U que contenha W_{1} e W_{2} também contém W_{1}+W_{2}; portanto W_{1}+W_{2} é o menor (interseção dos que contêm W_1,W_2) subespaço que contém ambos.

Passo 7

Intuição rápida e exemplo para fixar (sem formalidade): pense em W_{1} como o eixo x em \mathbb{R}^{2} e W_{2} como o eixo y. Então W_{1}+W_{2} é todo o plano \mathbb{R}^{2}. Qualquer subespaço que contenha tanto o eixo x quanto o eixo y tem de conter todas as combinações (x\text{-componente}) + (y\text{-componente}), isto é, todo o plano — exatamente a ideia da prova acima. Força: na prova da prova (ufa!), sempre pegue um elemento genérico de W_{1}+W_{2} e mostre que qualquer subespaço que tenha os somandos deve ter a soma.

Resposta

W_{1}+W_{2} é um subespaço de V e, além disso, para todo subespaço U de V com W_{1}\subseteq U e W_{2}\subseteq U vale W_{1}+W_{2}\subseteq U. Portanto W_{1}+W_{2} é o menor subespaço que contém W_{1} e W_{2}.

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