- Sejam
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Vimos que
é um subespaço de
. Mostre que
é o menor subespaço que contém
e
, no sentido de que qualquer subespaço que contenha
e
tem que conter
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial
. Pede-se para mostrar que
é o menor subespaço que contém
e
, isto é, que qualquer subespaço de
que contenha
e
também contém
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e são subespaços de . -
é definido (usualmente) como o conjunto de todas as somas de um vetor de com um vetor de :
O que devemos provar:
- Primeiro, que
é um subespaço de (fechamento em soma, fechamento em multiplicação escalar e contém o vetor zero). - Segundo, que se
é qualquer subespaço de com e , então . Isso mostra a propriedade de “menor” no sentido pedido.
Passo 2
Definição clara e interpretação do que é preciso usar.
Definição de
:
Isto significa que um vetor
pertence a
exatamente quando existe
e
tais que
.
Lembrete sobre subespaço: um subconjunto
de
é subespaço se e somente se
-
; - para quaisquer
, tem-se (fechamento por soma); - para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechamento por multiplicação escalar).
Vou usar essas três propriedades para verificar que
é subespaço, e depois uso a definição para a propriedade de minimalidade.
Passo 3
Mostrar que
contém o vetor zero.
Como
é subespaço,
. Como
é subespaço,
. Então
pois
pode ser escrito como soma de um elemento de
com um elemento de
. Isso verifica a propriedade 1 da definição de subespaço.
Passo 4
Mostrar fechamento por soma: se
então
.
Escreva
e
na forma exigida pela definição:
com
e
.
Então, usando associatividade e comutatividade da soma,
Como
é subespaço,
. Como
é subespaço,
. Logo
é soma de um elemento de
com um elemento de
, isto é,
Portanto
é fechado sob soma.
Passo 5
Mostrar fechamento por multiplicação escalar: se
é escalar e
então
.
Escreva
como
com
e
. Então
Como
e
são subespaços,
e
. Assim
é soma de um vetor de
com um vetor de
, logo
Portanto
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Concluir que
é subespaço e provar a minimalidade.
Pelas três propriedades verificadas (contém
, fechado por soma e por escalares),
é um subespaço de
.
Agora provar que é o menor subespaço que contém
e
. Seja
um subespaço de
tal que
e
. Queremos mostrar que
.
Tome um vetor arbitrário
. Pela definição de soma, existem
e
com
. Como
e
, temos
e
. E porque
é subespaço, é fechado sob soma, logo
. Como
foi escolhido arbitrariamente em
, isso prova
.
Isto mostra exatamente que qualquer subespaço
que contenha
e
também contém
; portanto
é o menor (interseção dos que contêm
) subespaço que contém ambos.
Passo 7
Intuição rápida e exemplo para fixar (sem formalidade): pense em
como o eixo
em
e
como o eixo
. Então
é todo o plano
. Qualquer subespaço que contenha tanto o eixo
quanto o eixo
tem de conter todas as combinações
, isto é, todo o plano — exatamente a ideia da prova acima. Força: na prova da prova (ufa!), sempre pegue um elemento genérico de
e mostre que qualquer subespaço que tenha os somandos deve ter a soma.