- Mostre que os polinômios
,
geram
.
Passo 1
O enunciado dá quatro polinômios em
(polinômios reais de grau ≤ 2):
O que se pede: mostrar que esses polinômios geram
. Ou seja, provar que qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear de
.
Passo 2
Explicando o objetivo de forma bem direta (passo a passo): para provar que um conjunto de vetores (aqui, polinômios) gera
basta mostrar que uma base de
está contida no span (no espaço gerado) desses vetores. Uma base conveniente é
. Portanto vou mostrar explicitamente que os polinômios
,
e
são combinações lineares de
. Cada passo abaixo faz uma combinação simples e mostra como obter esses três polinômios.
Passo 3
Faço combinações simples e olho para os coeficientes de
.
Calcule
:
Portanto já temos na combinação linear dos dados o polinômio
Passo 4
Agora encontro
. Observe
,
e
:
Calcule passo a passo:
e então
. Resumindo,
Logo
Assim
pertence ao span
.
Passo 5
Já temos
(do Passo 3) e
(do Passo 4). Para separar
e
consigo outra combinação que dê um polinômio afim com mesma coeficiente de
. Calcule
:
Chame
Agora subtraindo:
Portanto
span
, isto é,
E, usando
,
(As expressões acima mostram explicitamente
e
como combinações lineares de
; se quiser, pode-se simplificar os coeficientes, mas a forma já prova que
e
estão no span.)
Passo 6
Resumo das construções explícitas (todas obtidas por combinações lineares de
):
Assim
,
e
pertencem ao span
. Como
é uma base de
, segue que span
. Em palavras: qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear de
.
Resposta
Sim — os polinômios geram
.