1. Mostre que os polinômios P(x)=1+2 x-x^{2}, Q(x)=3+x^{2}, R(x)=5+4 x-x^{2}, S(x)=-2+2 x-x^{2} geram \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá quatro polinômios em \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios reais de grau ≤ 2):
P(x)=1+2x-x^{2},\qquad Q(x)=3+x^{2},\qquad R(x)=5+4x-x^{2},\qquad S(x)=-2+2x-x^{2}.
O que se pede: mostrar que esses polinômios geram \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Ou seja, provar que qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear de P,Q,R,S.

Passo 2

Explicando o objetivo de forma bem direta (passo a passo): para provar que um conjunto de vetores (aqui, polinômios) gera \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) basta mostrar que uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) está contida no span (no espaço gerado) desses vetores. Uma base conveniente é \{1,x,x^{2}\}. Portanto vou mostrar explicitamente que os polinômios 1, x e x^{2} são combinações lineares de P,Q,R,S. Cada passo abaixo faz uma combinação simples e mostra como obter esses três polinômios.

Passo 3

Faço combinações simples e olho para os coeficientes de 1,x,x^{2}.
Calcule S(x)+Q(x):
S(x)+Q(x)=(-2+2x-x^{2})+(3+x^{2})=1+2x.
Portanto já temos na combinação linear dos dados o polinômio
1+2x.

Passo 4

Agora encontro x^{2}. Observe P(x), S(x) e Q(x):
P(x)-S(x)-Q(x)=(1+2x-x^{2})-(-2+2x-x^{2})-(3+x^{2}).
Calcule passo a passo:
(1+2x-x^{2})-(-2+2x-x^{2})=1+2x-x^{2}+2-2x+x^{2}=3,
e então 3-(3+x^{2})=-x^{2}. Resumindo,
P(x)-S(x)-Q(x)=-x^{2}.
Logo
x^{2}=-P(x)+S(x)+Q(x).
Assim x^{2} pertence ao span (P,Q,R,S).

Passo 5

Já temos 1+2x (do Passo 3) e x^{2} (do Passo 4). Para separar 1 e x consigo outra combinação que dê um polinômio afim com mesma coeficiente de x. Calcule R(x)-P(x):
R(x)-P(x)=(5+4x-x^{2})-(1+2x-x^{2})=4+2x.
Chame
A(x)=S(x)+Q(x)=1+2x,\qquad B(x)=R(x)-P(x)=4+2x.
Agora subtraindo:
B(x)-A(x)=(4+2x)-(1+2x)=3.
Portanto 3\in span (P,Q,R,S), isto é,
1=\tfrac{1}{3}B(x)-\tfrac{1}{3}A(x)=\tfrac{1}{3}(R-P)-\tfrac{1}{3}(S+Q).
E, usando A(x)=1+2x,
x=\tfrac{1}{2}\big(A(x)-1\big)=\tfrac{1}{2}(S+Q)-\tfrac{1}{2}\cdot\Big[\tfrac{1}{3}(R-P)-\tfrac{1}{3}(S+Q)\Big].
(As expressões acima mostram explicitamente 1 e x como combinações lineares de P,Q,R,S; se quiser, pode-se simplificar os coeficientes, mas a forma já prova que 1 e x estão no span.)

Passo 6

Resumo das construções explícitas (todas obtidas por combinações lineares de P,Q,R,S):
1+2x = S+Q,
x^{2} = -P+S+Q,
4+2x = R-P,
3 = (R-P)-(S+Q),
1 = \tfrac{1}{3}\big((R-P)-(S+Q)\big),
x = \tfrac{1}{2}\big((S+Q)-1\big).
Assim 1, x e x^{2} pertencem ao span (P,Q,R,S). Como \{1,x,x^{2}\} é uma base de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), segue que span (P,Q,R,S)=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Em palavras: qualquer polinômio de grau ≤ 2 pode ser escrito como combinação linear de P,Q,R,S.

Resposta

Sim — os polinômios geram \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}).

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