Determine se o conjunto W=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2=0 é um subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2+z^2=0
é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Analisamos a condição
x^2 + y^2 + z^2 = 0
Como cada termo x^2, y^2 e z^2 é não-negativo, a soma só pode ser zero se e somente se
x = 0, y = 0, z = 0

Passo 3

Concluímos que
W = (0,0,0),
ou seja, é o conjunto que contém apenas o vetor nulo de R^3.

Passo 4

Verificamos as três propriedades de subespaço para W=0:
  1. O vetor zero está em W por construção.
  2. Soma: para quaisquer u,vin W, temos u=v=(0,0,0), logo u+v=(0,0,0)in W.
  3. Multiplicação escalar: para qualquer alphainR e u=(0,0,0)in W, alpha u=(0,0,0)in W.

Resposta

Sim. W é o subespaço trivial (0,0,0)subsetR^3.

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