Determine se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de . Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto deve (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação escalar.
é um subespaço de
Passo 2
Analisamos a condição
Como cada termo
,
e
é não-negativo, a soma só pode ser zero se e somente se
Passo 3
Concluímos que
ou seja, é o conjunto que contém apenas o vetor nulo de
.
Passo 4
Verificamos as três propriedades de subespaço para
:
- O vetor zero está em
por construção. - Soma: para quaisquer
, temos , logo . - Multiplicação escalar: para qualquer
e , .
Resposta
Sim.
é o subespaço trivial
.