Determine, em cada caso, a equação geral e a equação vetorial do plano em questão:
Plano passando pela origem e paralelo ao plano de equação 2 x-y+3 z=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral e a equação vetorial de um plano que passa pela origem e é paralelo ao plano dado pela equação
2x - y + 3z = 1
O conteúdo aqui é equação de plano no espaço: usamos o vetor normal para escrever a forma geral ax+by+cz=d e depois encontramos vetores diretores (orthogonais ao normal) para montar a forma vetorial.

Passo 2

Extraímos o vetor normal n do plano dado. Como a equação é 2x - y + 3z = 1, temos
n = (2,,-1,,3)
Um plano paralelo tem vetor normal proporcional, então podemos usar o mesmo n.

Passo 3

A equação geral de um plano com normal n=(2,-1,3) e que passa pela origem (0,0,0) é
2x - y + 3z = 0

Passo 4

Para achar a equação vetorial, precisamos de dois vetores diretores v1 e v2 ortogonais a n. Eles satisfazem
(2,-1,3)cdot(a,b,c)=0Longrightarrow 2a - b + 3c = 0
Escolhendo, por exemplo,
v1=(1,2,0) e v2=(0,3,1), pois
2cdot1 - 1cdot2 + 3cdot0 = 0, 2cdot0 - 1cdot3 +3cdot1 = 0

Passo 5

A equação vetorial do plano fica
r = s,(1,2,0) + t,(0,3,1), s,tinR

Resposta

Equação geral:
2x - y + 3z = 0
Equação vetorial:
r = s,(1,2,0) + t,(0,3,1), s,tinR

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