Passe a equação vetorial dos planos abaixo para a forma geral e apresente um de seus vetores normais:
(x, y, z)=(1,2,3)+s(1,1,1)+t(0,2,3)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação paramétrica de um plano em R^3:
(x,y,z) = (1,2,3) + s,(1,1,1) + t,(0,2,3)
O que queremos é reescrever esse plano na forma geral
ax + by + cz + d = 0
e, a partir dela, extrair um vetor normal ,(a,b,c).

Passo 2

Primeiro identificamos dois vetores diretores do plano:
v1 = (1,1,1), v2 = (0,2,3)
Um vetor normal n a esse plano é dado pelo produto vetorial v1 times v2. Calculando:
n = v1 times v2 = i & j & k 1 & 1 & 1 0 & 2 & 3 = i(1cdot3 - 1cdot2) - j(1cdot3 - 1cdot0) + k(1cdot2 - 1cdot0) = (1,,-3,,2)

Passo 3

Agora usamos a forma ponto–normal do plano: dado o ponto (x0,y0,z0)=(1,2,3) e o normal n=(1,-3,2), temos
ncdotl((x,y,z)-(1,2,3)r) = 0
Isto é,
(1,-3,2)cdot(x-1,;y-2,;z-3) = 0
Rightarrow 1,(x-1) -3,(y-2) +2,(z-3) = 0
Expandindo e coletando termos:
x - 1 -3y + 6 +2z -6 = 0 Longrightarrow x - 3y + 2z - 1 = 0

Resposta

A forma geral do plano é
x - 3y + 2z - 1 = 0
e um vetor normal é ,(1,,-3,,2).

Exercícios relacionados