Determine, em cada caso, a equação geral e a equação vetorial do plano em questão:
Plano passando pelo ponto (-1,1,1) e contendo a reta que é a intersecção dos planos x+y-z=2 e 2 x-y+3 z=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral e a equação vetorial do plano que passa por
O conteúdo envolvido é: (i) obter um vetor diretor da reta como o produto vetorial dos normais dos dois planos, (ii) encontrar um ponto qualquer na reta, (iii) usar esse ponto junto com (P] para determinar um segundo vetor diretor do plano e (iv) montar o normal do plano e escrever suas equações.

Passo 2

Os normais dos planos são
n1 = (1,,1,,-1), n2 = (2,,-1,,3)
Um vetor diretor da reta de interseção é
v = n1 times n2 = det i & j & k 1 & 1 & -1 2 & -1 & 3 = (1cdot3 - (-1)cdot(-1),;- [1cdot3 - (-1)cdot2],;1cdot(-1)-1cdot2) = (2,,-5,,-3)

Passo 3

Para achar um ponto
Somando as duas equações: . Logo .
Assim fica na reta.

Passo 4

O plano contém a reta (vetor diretor v=(2,-5,-3)) e também o ponto P(-1,1,1). Tomamos o vetor
w = P0P = (-1-1,;1-1,;1-0) = (-2,,0,,1),
que também está no plano.

Passo 5

O normal do plano é
n = v times w = det i & j & k 2 & -5 & -3 -2 & 0 & 1 = (-5cdot1 - (-3)cdot0,; -[2cdot1 - (-3)cdot(-2)],;2cdot0 - (-5)cdot(-2)) = (-5,;4,;-10)
Podemos multiplicar por -1 e usar
n = (5,,-4,;10)

Passo 6

A equação geral do plano ax+by+cz+d=0 vem de
5(x+1) -4(y-1) +10(z-1)=0,
que se expande para
5x +5 -4y +4 +10z -10 = 0 Longrightarrow 5x -4y +10z -1 = 0

Passo 7

A equação vetorial do plano usa o ponto P(-1,1,1) e os vetores diretores v e w:
r = (-1,,1,,1) + lambda,(2,,-5,,-3) + mu,(-2,,0,,1),
com lambda,muinR.

Resposta

Equação geral:
5x - 4y + 10z - 1 = 0
Equação vetorial:
r = (-1,,1,,1) + lambda,(2,,-5,,-3) + mu,(-2,,0,,1), lambda,muinR

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