Determine, em cada caso, a equação geral e a equação vetorial do plano em questão:
Plano passando pelo ponto (-1,1,1) e contendo a reta que é a intersecção dos planos .
Passo 1
O enunciado pede a equação geral e a equação vetorial do plano que passa por
O conteúdo envolvido é: (i) obter um vetor diretor da reta como o produto vetorial dos normais dos dois planos, (ii) encontrar um ponto qualquer na reta, (iii) usar esse ponto junto com (P] para determinar um segundo vetor diretor do plano e (iv) montar o normal do plano e escrever suas equações.
Passo 2
Os normais dos planos são
Um vetor diretor da reta de interseção é
Passo 3
Para achar um ponto
Somando as duas equações: . Logo .
Assim fica na reta.
Passo 4
O plano contém a reta (vetor diretor v=(2,-5,-3)) e também o ponto P(-1,1,1). Tomamos o vetor
w = P0P = (-1-1,;1-1,;1-0) = (-2,,0,,1),
que também está no plano.
Passo 5
O normal do plano é
n = v times w = det i & j & k 2 & -5 & -3 -2 & 0 & 1 = (-5cdot1 - (-3)cdot0,; -[2cdot1 - (-3)cdot(-2)],;2cdot0 - (-5)cdot(-2)) = (-5,;4,;-10)