Determine, em cada caso, a equação geral e a equação vetorial do plano em questão:
Plano passando pelo ponto ( -3,-7,1) e paralelo aos vetores u=(1,1,1) e v=(-1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral e a equação vetorial do plano que passa por P=(-3,-7,1) e é paralelo aos vetores vec u=(1,1,1) e vec v=(-1,1,0).
Conteúdo: geometria analítica no espaço – para a equação geral precisamos do vetor normal ao plano (produto vetorial) e para a equação vetorial usamos um ponto base e as direções dadas.

Passo 2

Calcular o vetor normal vec n como
vec n ;=;vec utimesvec v = i&j&k 1&1&1 -1&1&0 =l(1cdot0-1cdot1,;-,l(1cdot0-1cdot(-1)r),;1cdot1-1cdot(-1)r) =(-1,-1,2)
Opcionalmente multiplicamos por -1 para ficar vec n=(1,1,-2).

Passo 3

Usamos a forma cartesiana
vec ncdotl((x,y,z)-(-3,-7,1)r)=0
Com vec n=(1,1,-2) e ponto P isso dá
1,(x+3)+1,(y+7)-2,(z-1)=0 ;Longrightarrow; x+y-2z+12=0

Passo 4

A equação vetorial do plano é
vec r =OP +s,vec u +t,vec v = (-3,-7,1) +s,(1,1,1) +t,(-1,1,0),
com s,tinR.

Resposta

Equação geral:
x + y - 2z + 12 = 0
Equação vetorial:
vec r = (-3,-7,1) + s,(1,1,1) + t,(-1,1,0), s,tinR

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