Determine, em cada caso, a equação geral e a equação vetorial do plano em questão:
Plano passando pelo ponto (1,-1,1) e perpendicular à direção do vetor u=(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral (forma escalar) e a equação vetorial (forma paramétrica) do plano que passa pelo ponto (1,-1,1) e é perpendicular ao vetor u=(1,1,-1).
Conteúdo envolvido: geometria analítica no espaço, uso do vetor normal n para escrever a equação escalar
ncdot(r-r0)=0
e escolha de duas direções independentes no plano para a equação vetorial
r=r0+s,v+t,w

Passo 2

Como o plano é perpendicular a u, podemos tomar o vetor normal igual a
n=(1,1,-1)
Na forma escalar geral a equação do plano fica
ncdot(r-r0)=0 Longrightarrow 1,(x-1)+1,(y+1)-1,(z-1)=0,
que se expande em
x-1+y+1 -z+1=0 Longrightarrow x+y-z +1=0,
mas falta verificar o sinal constante corretamente.

Passo 3

Para ajustar o termo constante, basta substituir o ponto r0=(1,-1,1) na forma
x+y-z +d = 0
Fazendo x=1, y=-1, z=1 obtemos
1 + (-1) - 1 + d = 0 Longrightarrow -1 + d = 0 Longrightarrow d = 1
Logo a equação escalar final é
x + y - z + 1 = 0

Passo 4

Para a equação vetorial precisamos de duas direções v e w que morem no plano, isto é, que sejam ortogonais a n. Por exemplo, escolhemos
v=(1,-1,0), w=(1,0,1),
pois
(1,1,-1)cdot(1,-1,0)=1-1+0=0, (1,1,-1)cdot(1,0,1)=1+0-1=0
Assim a equação vetorial fica
r = (1,-1,1) + s,(1,-1,0) + t,(1,0,1), s,tinR

Resposta

Equação geral (escala r):
x + y - z + 1 = 0
Equação vetorial (paramétrica):
r = (1,-1,1) + s,(1,-1,0) + t,(1,0,1), s,tinR

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