Determine, em cada caso, a interseção G \cap H e a soma G+H dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
G=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p\right. tem todos os coeficientes iguais \} e \(H=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid\right. a soma dos coeficientes de p é zero \}.

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathcal{P}_2 (polinômios reais de grau ≤ 2) e pede, em cada caso, determinar:
  • a interseção G\cap H;
  • a soma G+H.
As informações fornecidas são:
  • G=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid p tem todos os coeficientes iguais \}.
    Em outras palavras, p(x)=a+a x+a x^2 para algum a\in\mathbb{R}.
  • H=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid a soma dos coeficientes de p é zero \}.
    Em outras palavras, se p(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2 então \alpha+\beta+\gamma=0.
O que se pede explicitamente:
  • calcular G\cap H;
  • calcular G+H.

Passo 2

Parametrizar G e H de forma clara (isso ajuda a ver bases e dimensões).
  1. Descrição de G.
Um polinômio em G tem todos os coeficientes iguais a um mesmo número a. Logo qualquer g\in G pode ser escrito como
g(x)=a(1+x+x^2),\qquad a\in\mathbb{R}.
Isto mostra que G=\operatorname{span}\{\,1+x+x^2\,\}. Assim \dim G=1.
  1. Descrição de H.
Tomemos um polinômio genérico p(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2. A condição para p\in H é
\alpha+\beta+\gamma=0.
Dessa equação podemos expressar \gamma em função de \alpha,\beta:
\gamma=-\alpha-\beta.
Substituindo em p obtemos
p(x)=\alpha+\beta x+(-\alpha-\beta)x^2=\alpha(1-x^2)+\beta(x-x^2).
Portanto
H=\operatorname{span}\{\,1-x^2,\;x-x^2\,\},
e \dim H=2.
Comentário didático rápido: achar uma base de H é encontrar polinômios geradores independentes que satisfaçam a condição da soma dos coeficientes zero. Aqui 1-x^2 e x-x^2 são escolhas naturais porque quando somam os coeficientes de cada um obtemos 1+0-1=0 e 0+1-1=0.

Passo 3

Calcular a interseção G\cap H.
Um polinômio p pertence a G\cap H exatamente quando pode ser escrito simultaneamente como p(x)=a(1+x+x^2) (para algum a) e satisfaz soma dos coeficientes =0.
A soma dos coeficientes de a(1+x+x^2) é a+a+a=3a. A condição de pertencer a H exige
3a=0.
Logo a=0. Portanto o único polinômio comum é o polinômio zero. Concluímos
G\cap H=\{0\}.
Explicação didática: se um subespaço unidimensional gerado por v intersecta outro subespaço e a interseção só contém o zero, isso significa que v não está no outro subespaço; aqui verificamos isso calculando a soma dos coeficientes.

Passo 4

Calcular a soma G+H.
Definição útil: G+H=\{g+h \mid g\in G,\\ h\in H\}. Uma forma prática de provar que G+H=\mathcal{P}_2 é mostrar que um polinômio arbitrário r(x)=c_0+c_1x+c_2x^2 pode ser escrito como soma de um elemento de G e um elemento de H.
Proponho escolher g(x)=a(1+x+x^2) com a igual à média aritmética dos coeficientes de r, isto é
a=\frac{c_0+c_1+c_2}{3}.
Defina então
h(x)=r(x)-g(x).
Vamos verificar que h\in H. Os coeficientes de h são (c_0-a),\\ (c_1-a),\\ (c_2-a). A soma desses coeficientes é
(c_0-a)+(c_1-a)+(c_2-a)=(c_0+c_1+c_2)-3a=0,
pela escolha de a. Portanto h\in H. Como r=g+h com g\in G,\\ h\in H, qualquer polinômio arbitrário r\in\mathcal{P}_2 pertence a G+H. Isso mostra
G+H=\mathcal{P}_2.
Comentário alternativo (checagem por dimensão): já vimos \dim G=1, \dim H=2 e \dim(G\cap H)=0. Pela fórmula da dimensão para soma de subespaços,
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H)=1+2-0=3.
Como \dim\mathcal{P}_2=3, segue que G+H=\mathcal{P}_2. Ambas as abordagens (construtiva e por dimensão) concordam.

Resposta

G\cap H=\{0\}
G+H=\mathcal{P}_2

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