Determine, em cada caso, a interseção
e a soma
dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
tem todos os coeficientes iguais
a soma dos coeficientes de
é zero
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
(polinômios reais de grau ≤ 2) e pede, em cada caso, determinar:
- a interseção
; - a soma
.
As informações fornecidas são:
-
tem todos os coeficientes iguais .
Em outras palavras,para algum . -
a soma dos coeficientes de é zero .
Em outras palavras, seentão .
O que se pede explicitamente:
- calcular
; - calcular
.
Passo 2
Parametrizar
e
de forma clara (isso ajuda a ver bases e dimensões).
- Descrição de
.
Um polinômio em
tem todos os coeficientes iguais a um mesmo número
. Logo qualquer
pode ser escrito como
Isto mostra que
. Assim
.
- Descrição de
.
Tomemos um polinômio genérico
. A condição para
é
Dessa equação podemos expressar
em função de
:
Substituindo em
obtemos
Portanto
e
.
Comentário didático rápido: achar uma base de
é encontrar polinômios geradores independentes que satisfaçam a condição da soma dos coeficientes zero. Aqui
e
são escolhas naturais porque quando somam os coeficientes de cada um obtemos
e
.
Passo 3
Calcular a interseção
.
Um polinômio
pertence a
exatamente quando pode ser escrito simultaneamente como
(para algum
) e satisfaz
soma dos coeficientes
.
A soma dos coeficientes de
é
. A condição de pertencer a
exige
Logo
. Portanto o único polinômio comum é o polinômio zero. Concluímos
Explicação didática: se um subespaço unidimensional gerado por
intersecta outro subespaço e a interseção só contém o zero, isso significa que
não está no outro subespaço; aqui verificamos isso calculando a soma dos coeficientes.
Passo 4
Calcular a soma
.
Definição útil:
. Uma forma prática de provar que
é mostrar que um polinômio arbitrário
pode ser escrito como soma de um elemento de
e um elemento de
.
Proponho escolher
com
igual à média aritmética dos coeficientes de
, isto é
Defina então
Vamos verificar que
. Os coeficientes de
são
. A soma desses coeficientes é
pela escolha de
. Portanto
. Como
com
, qualquer polinômio arbitrário
pertence a
. Isso mostra
Comentário alternativo (checagem por dimensão): já vimos
,
e
. Pela fórmula da dimensão para soma de subespaços,
Como
, segue que
. Ambas as abordagens (construtiva e por dimensão) concordam.