Sejam G e H subespaços próprios e distintos de um espaço vetorial arbitrário V.
Mostre que a interseção G \cap H e a soma G+H são sempre subespaços de V.

Passo 1

O enunciado nos dá duas hipóteses claras:
  • G e H são subespaços próprios e distintos de um espaço vetorial V.
  • Precisa-se mostrar duas coisas:
    1. que a interseção G\cap H é um subespaço de V;
    2. que a soma G+H é um subespaço de V.
Informações relevantes (tiradas do enunciado): G e H contêm o vetor zero de V e são fechados sob soma vetorial e multiplicação por escalares (essas são as propriedades que definem subespaços). A definição de G+H que usaremos é
G+H=\{\,g+h \mid g\in G,\\ h\in H\,\}.

Passo 2

Relembrando a definição prática de “subespaço” (mini-aula curta): um subconjunto W\subseteq V é subespaço de V se e somente se satisfaz três propriedades simples:
  1. 0_V\in W (contém o vetor zero);
  2. se u,v\in W então u+v\in W (fechamento sob soma);
  3. se \alpha é um escalar e u\in W então \alpha u\in W (fechamento sob multiplicação por escalar).
    Essas três condições são suficientes e fáceis de verificar numa prova de subespaço; é isso que faremos para G\cap H e para G+H.

Passo 3

Prova de que G\cap H é subespaço de V.
  • Primeiro, por ser subespaço, G contém 0_V e H contém 0_V. Logo 0_V\in G\cap H. Assim a propriedade (1) está satisfeita.
  • Agora verificação de fechamento sob soma. Tome vetores arbitrários u,v\in G\cap H. Por definição de interseção, isso significa que u\in G e u\in H, e também v\in G e v\in H. Como G é fechado sob soma, u+v\in G. Como H é fechado sob soma, u+v\in H. Portanto u+v\in G\cap H. Assim a propriedade (2) vale.
  • Verificação de fechamento sob multiplicação por escalar. Tome um escalar \alpha e um vetor u\in G\cap H. Então u\in G e u\in H. Como G e H são fechados por escalares, tem-se \alpha u\in G e \alpha u\in H. Logo \alpha u\in G\cap H. Assim a propriedade (3) vale.
Concluindo, G\cap H satisfaz as três propriedades, portanto G\cap H é subespaço de V.

Passo 4

Prova de que G+H é subespaço de V.
  • Primeiro, existência do zero. Como 0_V\in G e 0_V\in H, tem-se 0_V = 0_V+0_V\in G+H. Logo 0_V\in G+H.
  • Fechamento sob soma. Tome vetores arbitrários x,y\in G+H. Por definição de G+H existem g_1,g_2\in G e h_1,h_2\in H tais que
    x=g_1+h_1,\qquad y=g_2+h_2.
    Então
    x+y=(g_1+h_1)+(g_2+h_2).
    Usando associatividade e comutatividade da soma vetorial podemos agrupar:
    x+y=(g_1+g_2)+(h_1+h_2).
    Como G é fechado sob soma, g_1+g_2\in G. Como H é fechado sob soma, h_1+h_2\in H. Portanto (g_1+g_2)+(h_1+h_2)\in G+H. Assim x+y\in G+H, provando o fechamento sob soma.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar. Tome \alpha escalar e x\in G+H com x=g+h, onde g\in G e h\in H. Então
    \alpha x=\alpha(g+h)=\alpha g+\alpha h.
    Como G e H são fechados por escalares, \alpha g\in G e \alpha h\in H. Assim \alpha g+\alpha h\in G+H. Portanto \alpha x\in G+H.
Concluindo, G+H contém 0_V e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, logo G+H é subespaço de V.

Passo 5

Comentário final (motivação extra, curta): a interseção captura os vetores comuns aos dois subespaços e por isso herda as propriedades de ambos; a soma é feita pegando todas as combinações g+h e funciona porque as operações vetoriais preservam pertencimento a cada subespaço separadamente. Um fato útil de recordar para a prova: G+H é o menor subespaço de V que contém G\cup H.

Resposta

\;G\cap H é subespaço de V.\n \;G+H é subespaço de V.

Exercícios relacionados