Sejam
e
subespaços próprios e distintos de um espaço vetorial arbitrário
.
Mostre que a interseção
e a soma
são sempre subespaços de
.
Mostre que a interseção
Passo 1
O enunciado nos dá duas hipóteses claras:
-
e são subespaços próprios e distintos de um espaço vetorial . - Precisa-se mostrar duas coisas:
- que a interseção
é um subespaço de ; - que a soma
é um subespaço de .
- que a interseção
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
e
contêm o vetor zero de
e são fechados sob soma vetorial e multiplicação por escalares (essas são as propriedades que definem subespaços). A definição de
que usaremos é
Passo 2
Relembrando a definição prática de “subespaço” (mini-aula curta): um subconjunto
é subespaço de
se e somente se satisfaz três propriedades simples:
-
(contém o vetor zero); - se
então (fechamento sob soma); - se
é um escalar e então (fechamento sob multiplicação por escalar).
Essas três condições são suficientes e fáceis de verificar numa prova de subespaço; é isso que faremos parae para .
Passo 3
Prova de que
é subespaço de
.
-
Primeiro, por ser subespaço,
contém e contém . Logo . Assim a propriedade (1) está satisfeita. -
Agora verificação de fechamento sob soma. Tome vetores arbitrários
. Por definição de interseção, isso significa que e , e também e . Como é fechado sob soma, . Como é fechado sob soma, . Portanto . Assim a propriedade (2) vale. -
Verificação de fechamento sob multiplicação por escalar. Tome um escalar
e um vetor . Então e . Como e são fechados por escalares, tem-se e . Logo . Assim a propriedade (3) vale.
Concluindo,
satisfaz as três propriedades, portanto
é subespaço de
.
Passo 4
Prova de que
é subespaço de
.
-
Primeiro, existência do zero. Como
e , tem-se . Logo . -
Fechamento sob soma. Tome vetores arbitrários
. Por definição de existem e tais que EntãoUsando associatividade e comutatividade da soma vetorial podemos agrupar:Comoé fechado sob soma, . Como é fechado sob soma, . Portanto . Assim , provando o fechamento sob soma. -
Fechamento sob multiplicação por escalar. Tome
escalar e com , onde e . Então Comoe são fechados por escalares, e . Assim . Portanto .
Concluindo,
contém
e é fechado sob soma e multiplicação por escalares, logo
é subespaço de
.
Passo 5
Comentário final (motivação extra, curta): a interseção captura os vetores comuns aos dois subespaços e por isso herda as propriedades de ambos; a soma é feita pegando todas as combinações
e funciona porque as operações vetoriais preservam pertencimento a cada subespaço separadamente. Um fato útil de recordar para a prova:
é o menor subespaço de
que contém
.