Dê exemplos de subespaços próprios
e
em
tais que
e
quando:
;
Passo 1
O enunciado dá a informação:
-
.
O que é pedido:
- Encontrar exemplos de subespaços próprios
e de tais que e .
Observações importantes que extraí do enunciado:
- “Subespaços próprios” significa que
e são subespaços de e nenhum dos dois é igual a todo . - A condição
é sempre satisfeita no caso de subespaços porque ; vou, no entanto, dar um exemplo em que a interseção é não-trivial (contendo vetores não-nulos), porque geralmente é isso que se espera quando se pede essa condição.
Passo 2
Vou sugerir escolhas simples e concretas de subespaços (usando as bases canônicas). Defino:
Ambos são subespaços de
e claramente não são iguais a
(têm dimensão
), logo são próprios.
Passo 3
Verificação detalhada de que
e
são subespaços próprios:
-
: - Contém o vetor nulo
. - Soma: se
e estão em , então a soma também está em . - Multiplicação por escalar: para
, . - Dimensão de
é , portanto .
- Contém o vetor nulo
-
: argumento análogo (contém , fechado sob soma e escalares); dimensão de é , logo é próprio.
Passo 4
Cálculo da interseção
(quero mostrar que é não-trivial):
- Um vetor
deve ser simultaneamente da forma (porque está em ) e da forma (porque está em ). - Igualando as componentes:
implica , e . - Assim os vetores comuns têm a forma
com ; isto é, - Como
, a interseção é não-trivial (contém vetores não-nulos) e, em particular, é não-vazia.
Passo 5
Verificação de que
:
- Por definição,
- Tome um vetor arbitrário
. Posso escrevê-lo como soma onde e (pois ). Portanto qualquer vetor de é soma de um elemento de com um de , o que mostra . - Alternativamente, usando a fórmula das dimensões:
o que também implica .
Passo 6
Observação prática e generalização curta (como pensar nisso na prova):
- Em
uma maneira fácil de obter é escolher dois planos (subespaços de dimensão ) que não sejam iguais; então eles se intersectam ao longo de uma reta (dimensão ) e a soma tem dimensão . É exatamente o que fiz acima. - Se quiser que
seja apenas (interseção trivial), pode-se escolher um plano e uma reta que não esteja contida no plano (reta através da origem mas fora do plano): aí e a soma também terá dimensão .