Dê exemplos de subespaços próprios G e H em V tais que G+H=V e G \cap H \neq \emptyset quando:
V=\mathbb{R}^{3};

Passo 1

O enunciado dá a informação:
  • V=\mathbb{R}^3.
O que é pedido:
  • Encontrar exemplos de subespaços próprios G e H de V tais que G+H=V e G\cap H\neq\emptyset.
Observações importantes que extraí do enunciado:
  • “Subespaços próprios” significa que G e H são subespaços de \mathbb{R}^3 e nenhum dos dois é igual a todo \mathbb{R}^3.
  • A condição G\cap H\neq\emptyset é sempre satisfeita no caso de subespaços porque 0\in G\cap H; vou, no entanto, dar um exemplo em que a interseção é não-trivial (contendo vetores não-nulos), porque geralmente é isso que se espera quando se pede essa condição.

Passo 2

Vou sugerir escolhas simples e concretas de subespaços (usando as bases canônicas). Defino:
G=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
H=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}=\{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\}.
Ambos são subespaços de \mathbb{R}^3 e claramente não são iguais a \mathbb{R}^3 (têm dimensão 2), logo são próprios.

Passo 3

Verificação detalhada de que G e H são subespaços próprios:
  • G:
    • Contém o vetor nulo (0,0,0).
    • Soma: se (x_1,y_1,0) e (x_2,y_2,0) estão em G, então a soma (x_1+x_2,y_1+y_2,0) também está em G.
    • Multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R}, \lambda(x,y,0)=(\lambda x,\lambda y,0)\in G.
    • Dimensão de G é 2, portanto G\neq\mathbb{R}^3.
  • H: argumento análogo (contém (0,0,0), fechado sob soma e escalares); dimensão de H é 2, logo H é próprio.

Passo 4

Cálculo da interseção G\cap H (quero mostrar que é não-trivial):
  • Um vetor v\in G\cap H deve ser simultaneamente da forma (x,y,0) (porque está em G) e da forma (0,y',z) (porque está em H).
  • Igualando as componentes: (x,y,0)=(0,y',z) implica x=0, y=y' e 0=z.
  • Assim os vetores comuns têm a forma (0,y,0) com y\in\mathbb{R}; isto é, G\cap H=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
  • Como (0,1,0)\neq(0,0,0), a interseção é não-trivial (contém vetores não-nulos) e, em particular, é não-vazia.

Passo 5

Verificação de que G+H=\mathbb{R}^3:
  • Por definição, G+H=\{g+h\mid g\in G,\\ h\in H\}.
  • Tome um vetor arbitrário (a,b,c)\in\mathbb{R}^3. Posso escrevê-lo como soma (a,b,c)=(a,b,0)+(0,0,c),onde (a,b,0)\in G e (0,0,c)\in H (pois (0,0,c)=c(0,0,1)\in H). Portanto qualquer vetor de \mathbb{R}^3 é soma de um elemento de G com um de H, o que mostra G+H=\mathbb{R}^3.
  • Alternativamente, usando a fórmula das dimensões: \dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H)=2+2-1=3=\dim\mathbb{R}^3,o que também implica G+H=\mathbb{R}^3.

Passo 6

Observação prática e generalização curta (como pensar nisso na prova):
  • Em \mathbb{R}^3 uma maneira fácil de obter G+H=\mathbb{R}^3 é escolher dois planos (subespaços de dimensão 2) que não sejam iguais; então eles se intersectam ao longo de uma reta (dimensão 1) e a soma tem dimensão 3. É exatamente o que fiz acima.
  • Se quiser que G\cap H seja apenas \{0\} (interseção trivial), pode-se escolher um plano e uma reta que não esteja contida no plano (reta através da origem mas fora do plano): aí \dim G=2,\\ \dim H=1,\\ \dim(G\cap H)=0 e a soma também terá dimensão 3.

Resposta

G=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},\qquad H=\operatorname{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}

Exercícios relacionados