Determine, em cada caso, a interseção
e a soma
dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
(a)
e
;
(b)
e
;(c)
tem todos os coeficientes iguais
a soma dos coeficientes de
é zero.)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, para cada par de subespaços
, que eu determine:
- a interseção
; - a soma
.
Vou listar claramente as informações dadas em cada item:
(a) No espaço
:
-
. -
.
(b) No espaço
(polinômios reais de grau ≤ 2), escrevendo um polinômio como
:
-
. -
.
(c) No espaço
:
-
tem todos os coeficientes iguais . -
a soma dos coeficientes de é zero .
Passo 2
Relembrando definições e método prático (bem mastigado):
- A interseção
é o conjunto de vetores que pertencem simultaneamente a e a . Para encontrá-la normalmente escrevemos as condições que definem e juntas e resolvemos o sistema linear resultante, parametrizando as soluções. - A soma
é o subespaço gerado por ; formalmente
Um procedimento prático: obter bases (ou geradores) de
e de
, juntar esses geradores e eliminar dependências lineares para achar uma base de
. A dimensão satisfaz a fórmula útil
que nos ajuda a concluir quando o somatório atinge o espaço inteiro.
Agora vou aplicar esse método a cada item, passo a passo.
Passo 3
(a) Primeiro parametrizo
e
em
.
- Condições de
: e . Tomando parâmetros e livres, todo vetor de é
Assim um gerador (base) para
é dado por
logo
.
- Condição de
: . Posso tomar , , como parâmetros livres; então
e todo vetor de
é
Uma possível lista de geradores para
é
logo
(uma única equação linear reduz o grau de liberdade a 3).
Passo 4
(a) Agora calculo
. Tomo um vetor genérico de
,
, e imponho a equação de
:
A condição
torna-se
. Portanto vetores em
têm
e
livre, sendo da forma
Concluo que
é o subespaço gerado por
; ou seja tem dimensão
.
Passo 5
(a) Para
posso usar a fórmula de dimensão:
,
,
. Assim
Como
tem dimensão
, segue que
. (Isto significa que os geradores conjuntos de
e
geram todo
.)
Passo 6
(b) Trabalho em
. Escrevo um polinômio como
.
- Para
: condição significa . Então polinômios de são
Logo
e
.
- Para
: condição . Então
logo
e
.
Passo 7
(b) Agora
: um polinômio está em
e em
se satisfaz
e
simultaneamente; então
e
, sobrando apenas
livre. Assim elementos de
são
, i.e.
com
.
Passo 8
(b) Para
uso a fórmula de dimensão:
,
,
. Assim
Mas
, logo
(ou seja, os geradores de
e
juntos geram todo
).
Passo 9
(c) Ainda em
.
-
= polinômios com todos os coeficientes iguais: . Portanto
e
.
-
= polinômios cuja soma dos coeficientes é zero: . Tomando livres e , temos
Logo
e
.
Passo 10
(c) Interseção
: um polinômio de
tem a forma
. A soma dos coeficientes desse polinômio é
. Para estar em
precisamos dessa soma ser zero, logo
. Assim o único polinômio em comum é o polinômio zero. Portanto
com dimensão
.
Passo 11
(c) Soma
: usando a fórmula de dimensão,
Como
, segue
.
Resposta
(a)
. \quad
.
(b)
. \quad
.
(c)
. \quad
.