Determine, em cada caso, a interseção G \cap H e a soma G+H dos subespaços nos respectivos espaços considerados com suas operações usuais:
(a) G=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=t, y=2 z\right\} e H=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid y-2 z+t=0\right\};
(b) G=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p(t)=a t^{2}+b t+c, a-c=0\right\} e H=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p(t)=a t^{2}+b t+c, c=0\right\};(c) G=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid p\right. tem todos os coeficientes iguais \} e \(H=\left\{p \in \mathcal{P}_{2} \mid\right. a soma dos coeficientes de p é zero.)

Passo 1

O enunciado pede, para cada par de subespaços G,H, que eu determine:
  • a interseção G\cap H;
  • a soma G+H.
Vou listar claramente as informações dadas em cada item:
(a) No espaço \mathbb{R}^4:
  • G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x=t,\; y=2z\}.
  • H=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid y-2z+t=0\}.
(b) No espaço \mathcal{P}_2 (polinômios reais de grau ≤ 2), escrevendo um polinômio como p(t)=a t^2 + b t + c:
  • G=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid a-c=0\}.
  • H=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid c=0\}.
(c) No espaço \mathcal{P}_2:
  • G=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid p tem todos os coeficientes iguais \}.
  • H=\{p\in\mathcal{P}_2 \mid a soma dos coeficientes de p é zero \}.

Passo 2

Relembrando definições e método prático (bem mastigado):
  • A interseção G\cap H é o conjunto de vetores que pertencem simultaneamente a G e a H. Para encontrá-la normalmente escrevemos as condições que definem G e H juntas e resolvemos o sistema linear resultante, parametrizando as soluções.
  • A soma G+H é o subespaço gerado por G\cup H; formalmente
G+H=\{g+h \mid g\in G,\\ h\in H\}=\operatorname{span}(G\cup H).
Um procedimento prático: obter bases (ou geradores) de G e de H, juntar esses geradores e eliminar dependências lineares para achar uma base de G+H. A dimensão satisfaz a fórmula útil
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H),
que nos ajuda a concluir quando o somatório atinge o espaço inteiro.
Agora vou aplicar esse método a cada item, passo a passo.

Passo 3

(a) Primeiro parametrizo G e H em \mathbb{R}^4.
  • Condições de G: x=t e y=2z. Tomando parâmetros z e t livres, todo vetor de G é
(x,y,z,t)=(t,2z,z,t)=t\,(1,0,0,1)+z\,(0,2,1,0).
Assim um gerador (base) para G é dado por
v_1=(1,0,0,1),\qquad v_2=(0,2,1,0),
logo \dim G=2.
  • Condição de H: y-2z+t=0. Posso tomar x, z, t como parâmetros livres; então
y=2z-t,
e todo vetor de H é
(x,y,z,t)=(x,2z-t,z,t)=x\,(1,0,0,0)+z\,(0,2,1,0)+t\,(0,-1,0,1).
Uma possível lista de geradores para H é
h_1=(1,0,0,0),\quad h_2=(0,2,1,0),\quad h_3=(0,-1,0,1),
logo \dim H=3 (uma única equação linear reduz o grau de liberdade a 3).

Passo 4

(a) Agora calculo G\cap H. Tomo um vetor genérico de G, (t,2z,z,t), e imponho a equação de H:
y-2z+t=(2z)-2z+t=t.
A condição y-2z+t=0 torna-se t=0. Portanto vetores em G\cap H têm t=0 e z livre, sendo da forma
(0,2z,z,0)=z\,(0,2,1,0).
Concluo que G\cap H é o subespaço gerado por (0,2,1,0); ou seja tem dimensão 1.

Passo 5

(a) Para G+H posso usar a fórmula de dimensão: \dim G=2, \dim H=3, \dim(G\cap H)=1. Assim
\dim(G+H)=2+3-1=4.
Como \mathbb{R}^4 tem dimensão 4, segue que G+H=\mathbb{R}^4. (Isto significa que os geradores conjuntos de G e H geram todo \mathbb{R}^4.)

Passo 6

(b) Trabalho em \mathcal{P}_2. Escrevo um polinômio como p(t)=a t^2 + b t + c.
  • Para G: condição a-c=0 significa c=a. Então polinômios de G são
p(t)=a t^2 + b t + a = a\,(t^2+1)+b\,t.
Logo G=\operatorname{span}\{\,t^2+1,\\ t\,\} e \dim G=2.
  • Para H: condição c=0. Então
p(t)=a t^2 + b t + 0 = a\,t^2 + b\,t,
logo H=\operatorname{span}\{\,t^2,\\ t\,\} e \dim H=2.

Passo 7

(b) Agora G\cap H: um polinômio está em G e em H se satisfaz c=a e c=0 simultaneamente; então a=0 e c=0, sobrando apenas b livre. Assim elementos de G\cap H são p(t)=b t, i.e.
G\cap H=\operatorname{span}\{\,t\,\},
com \dim(G\cap H)=1.

Passo 8

(b) Para G+H uso a fórmula de dimensão: \dim G=2, \dim H=2, \dim(G\cap H)=1. Assim
\dim(G+H)=2+2-1=3.
Mas \dim\mathcal{P}_2=3, logo G+H=\mathcal{P}_2 (ou seja, os geradores de G e H juntos geram todo \mathcal{P}_2).

Passo 9

(c) Ainda em \mathcal{P}_2.
  • G = polinômios com todos os coeficientes iguais: p(t)=a t^2 + a t + a = a\,(t^2+t+1). Portanto
G=\operatorname{span}\{\,t^2+t+1\,\},
e \dim G=1.
  • H = polinômios cuja soma dos coeficientes é zero: a+b+c=0. Tomando a,b livres e c=-a-b, temos
p(t)=a t^2 + b t -a -b = a\,(t^2-1) + b\,(t-1).
Logo
H=\operatorname{span}\{\,t^2-1,\\ t-1\,\},
e \dim H=2.

Passo 10

(c) Interseção G\cap H: um polinômio de G tem a forma a\,(t^2+t+1). A soma dos coeficientes desse polinômio é a(1+1+1)=3a. Para estar em H precisamos dessa soma ser zero, logo 3a=0\Rightarrow a=0. Assim o único polinômio em comum é o polinômio zero. Portanto
G\cap H=\{0\},
com dimensão 0.

Passo 11

(c) Soma G+H: usando a fórmula de dimensão,
\dim(G+H)=\dim G+\dim H-\dim(G\cap H)=1+2-0=3.
Como \dim\mathcal{P}_2=3, segue G+H=\mathcal{P}_2.

Resposta

(a) G\cap H=\operatorname{span}\{(0,2,1,0)\}. \quad G+H=\mathbb{R}^4.
(b) G\cap H=\operatorname{span}\{t\}. \quad G+H=\mathcal{P}_2.
(c) G\cap H=\{0\}. \quad G+H=\mathcal{P}_2.

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