Determine, em cada caso, a matriz M tal que [T]B=M^-1[T]c M.
T(x, y)=(6 x-2 y,-2 x+3 y), B=(1,1),(1,-1) e C a base canônica.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a aplicação linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(6x-2y,,-2x+3y),
e queremos achar a matriz de mudança de base M entre a base canônica C e a base
B=(1,1),(1,-1) tal que
[T]B = M^-1,[T]C,M

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz de T na base canônica C. Basta aplicar T em (1,0) e (0,1):
T(1,0)=(6,-2), T(0,1)=(-2,3)
Portanto
[T]C = 6 & -2 -2 & 3

Passo 3

A matriz de mudança de base M terá como colunas as coordenadas dos vetores de B na base canônica. Como os vetores de B são (1,1) e (1,-1), obtemos
M = 1 & 1 1 & -1

Passo 4

Para confirmar, calculamos
M^-1 =1-2-1 & -1-1 & 1
e verificamos que de fato
M^-1,[T]C,M
é a matriz de T na base B.

Resposta

M = 1 & 1 1 & -1

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