Determine, em cada caso, a matriz M tal que [T]B=M^-1[T]c M.
T(a+b x+c x^2)=b+(a+c) x+(b-a) x^2, B=1,1+x, x-x^2 e C a base canônica.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
Tcolon P2 to P2, Tl(a + b x + c x^2r)=b + (a+c),x + (b-a),x^2
e pede a matriz M tal que
[T] B ;=; M^-1,[T] C,M,
onde C=1,x,x^2 é a base canônica e B=1,,1+x,,x-x^2.
Para isso, vamos usar o fato de que M é a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas em C, ou seja, suas colunas são as coordenadas, na base canônica, dos vetores de B.

Passo 2

Escrevemos cada vetor de B em coordenadas da base canônica 1,x,x^2:
  • v1 = 1 = 1cdot1 + 0cdot x + 0cdot x^2 to col 1= 100.
  • v2 = 1+x = 1cdot1 + 1cdot x + 0cdot x^2 to col 2= 110.
  • v3 = x - x^2 = 0cdot1 + 1cdot x + (-1)cdot x^2 to col 3= 01-1.

Passo 3

Agrupando essas colunas, obtemos
M = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1

Resposta

M = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1

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