Verifique, em cada caso, se as matrizes A e B são semelhantes.
A=(rrr2 & 3 & -2 0 & -1 & 1 0 & 2 & 4) e B=(rrr3 & 0 & 0 7 & 1 & 2 5 & -3 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, no espaço considerado (tipicamente R^3 ou C^3), existe matriz invertível P tal que
B = P^-1 A P,
ou seja, se A e B são semelhantes. Uma condição necessária (e, no caso de autovalores simples, suficiente) é que as duas matrizes tenham o mesmo polinômio característico.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Definindo
chiA(lambda)=det(lambda I - A)
temos
lambda I - A = lambda-2 & -3 & 2 0 & lambda+1 & -1 0 & -2 & lambda-4
Como só o elemento lambda-2 da primeira linha é não-nulo na primeira coluna,
chiA(lambda) =(lambda-2)detlambda+1 & -1-2 & lambda-4 =(lambda-2)l[(lambda+1)(lambda-4)-(-1)(-2)r]
Expandindo,
(lambda+1)(lambda-4)=lambda^2-3lambda-4, -(-1)(-2)=-2,
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chiA(lambda)=(lambda-2)(lambda^2-3lambda-6)

Passo 3

Agora o polinômio característico de B. Escrevendo
chiB(lambda)=det(lambda I - B) =det lambda-3 & 0 & 0 -7 & lambda-1 & -2 -5 & 3 & lambda-1 ,
expande-se pela primeira linha:
chiB(lambda) =(lambda-3)detlambda-1 & -23 & lambda-1 =(lambda-3)l[(lambda-1)^2 -(-2)cdot3r]
Como (lambda-1)^2+6=lambda^2-2lambda+7, obtemos
chiB(lambda)=(lambda-3)(lambda^2-2lambda+7)

Passo 4

Comparando chiA(lambda)=(lambda-2)(lambda^2-3lambda-6) com chiB(lambda)=(lambda-3)(lambda^2-2lambda+7), vemos que são diferentes (os fatores lineares e quadráticos não coincidem). Logo A e B têm polinômios característicos distintos e não podem ser semelhantes.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes.

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