Verifique, em cada caso, se as matrizes A e B são semelhantes.
A=(rrrr1 & 2 & -3 & 0 3 & -1 & 2 & -4 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 1 & -2) e B=(rrrr4 & 2 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 7 & 2 & -3 & 5 4 & 0 & 2 & 1).

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A= 1 & 2 & -3 & 0 3 & -1 & 2 & -4 0 & 0 & 5 & 0 0 & 0 & 1 & -2 , B= 4 & 2 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 7 & 2 & -3 & 5 4 & 0 & 2 & 1 ,
e pede para ver se existe uma matriz invertível P tal que B=P^-1AP. Para isso, basta lembrar que matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (e, portanto, os mesmos valores próprios, contando multiplicidade). Se os polinômios característicos de A e B forem diferentes, não podem ser semelhantes.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Note que A é block– triangular, com blocos na diagonal
A1=1&23&-1, A2=5&01&-2
Logo
chiA(lambda) =det(lambda I2 - A1),det(lambda I2 - A2)
Para A1:
det(lambda I2 - A1) =det!l(lambda-1&-2-3&lambda+1r) =(lambda-1)(lambda+1)-6 =lambda^2-7
Para A2:
det(lambda I2 - A2) =det!l(lambda-5&0-1&lambda+2r) =(lambda-5)(lambda+2) =lambda^2-3lambda-10
Portanto
chiA(lambda)=(lambda^2-7)(lambda^2-3lambda-10)

Passo 3

Agora o polinômio característico de B. Observe que B é block– triangular inferior, com blocos
B11=4&2-2&1, B22=-3&52&1
Logo
chiB(lambda) =det(lambda I2 - B11),det(lambda I2 - B22)
Para B11:
det(lambda I2 - B11) =det!l(lambda-4&-22&lambda-1r) =(lambda-4)(lambda-1)+4 =lambda^2-5lambda+8
Para B22:
det(lambda I2 - B22) =det!l(lambda+3&-5-2&lambda-1r) =(lambda+3)(lambda-1)-10 =lambda^2+2lambda-13
Portanto
chiB(lambda)=(lambda^2-5lambda+8)(lambda^2+2lambda-13)

Passo 4

Comparando
chiA(lambda)=(lambda^2-7)(lambda^2-3lambda-10) com chiB(lambda)=(lambda^2-5lambda+8)(lambda^2+2lambda-13),
vemos que eles não coincidem (por exemplo, chiA tem raízes reais pmraiz7, enquanto chiB não). Como o polinômio característico é um invariante de similaridade, concluímos que A e B não são semelhantes.

Resposta

As matrizes A e B não são semelhantes.

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