Determine, em cada caso, os pontos onde f é diferenciável. Calcule as derivadas parciais de f nestes pontos, encontrando as funções \tilde{f} e t ou fazendo o cálculo direto, o que lhe parecer mais simples. f(x, y)=e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede:
Determinar os pontos onde f é diferenciável.
Calcular as derivadas parciais de f nesses pontos.
Encontrar a aplicação linear t (o diferencial) em cada ponto, ou fazer o cálculo direto.
Informações dadas:
A função é \displaystyle f(x,y)=e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}.
Como o enunciado não explicita o valor em (0,0) e este tipo de exercício é clássico, vou considerar a extensão usual por continuidade, ou seja: definimos \displaystyle f(0,0)=0. (Se você tiver outra definição em mente, me avise; aqui sigo a hipótese padrão.)
Então estudaremos diferenciabilidade em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}, separando o caso (x,y)\neq(0,0) e o caso (0,0).
Passo 2
Análise para (x,y)\neq(0,0).
Raciocínio didático (regra prática): se uma função é composição de funções elementares (polinômios, potências, soma, produto, exponencial, recíproco) em pontos onde todas essas operações fazem sentido, então é C^\infty nesses pontos; logo é diferenciável. Vou fazer o cálculo direto das derivadas parciais para ficar claro como proceder na prova.
Defina \displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2} e \displaystyle u(x,y)=-\frac{1}{r^{2}}=-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1}. Então \displaystyle f(x,y)=e^{u(x,y)}.
Aplicando a regra da cadeia para derivada parcial em relação a x:
Primeiro calcule \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}. Como u=-(x^{2}+y^{2})^{-1}, usamos a derivada de v^{-1}: \frac{d}{dx}v^{-1}=-v^{-2}v'. Assim
Comentário amigo: essas fórmulas aparecem direto aplicando a cadeia; importante na prova é escrever o passo da derivada de -(x^{2}+y^{2})^{-1} com calma, como fiz acima.
Passo 3
Conclusão para (x,y)\neq(0,0).
Como as expressões das derivadas parciais acima são combinações de funções suaves em pontos onde x^{2}+y^{2}\neq0, temos que f é C^{\infty} e, em particular, diferenciável em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0). O diferencial (aplicação linear) em um ponto (a,b)\neq(0,0) é
Defina r=\sqrt{h^{2}+k^{2}}. Então a expressão é \dfrac{e^{-1/r^{2}}}{r}. Com s=1/r temos novamente s e^{-s^{2}} com s\to\infty, cujo limite é 0 (ver Passo 4). Portanto
tendem a 0 quando (x,y)\to(0,0). Isso porque seus módulos são majorados por constantes vezes expressões do tipo s^{3}e^{-s^{2}} com s\to\infty, que vão a zero. Assim as derivadas são contínuas em (0,0) e f é de classe C^{1} (na verdade C^{\infty}) em todo \mathbb{R}^{2}.
Passo 7
Resumo prático para a prova (o que escrever de forma curta):
Para (x,y)\neq(0,0) usar regra da cadeia e as fórmulas do Passo 2.
Em (0,0) calcular derivadas parciais por limite (veja Passo 4) e verificar diferenciabilidade pelo quociente com \sqrt{h^{2}+k^{2}} (Passo 5); o diferencial em (0,0) é zero.
Resposta
f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2} (assumindo f(0,0)=0).\n
Para (x,y)\neq(0,0):