Determine y^prime em cada caso sabendo que y=f(x) está implícita nas equações abaico.
e) 5 y+cos (x y)=xy;

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
5,y + cos(xy) = xy
e pede y'=dydx. Para resolver, vamos aplicar derivada implícita, usando a regra da soma, produto e cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
Lado esquerdo:
ddxl(5yr)=5,y',
ddxl(cos(xy)r) = -sin(xy),ddx(x,y) = -sin(xy)l(y + x,y'r)
Lado direito: escrevemos xy=x,y^-1 e aplicamos a regra do produto:
ddxl(x,y^-1r) =1cdot y^-1 + xcdot(-1),y^-2,y' =1y-xy^2,y'

Passo 3

Agora montamos a equação das derivadas:
5,y' ;+; l[-sin(xy),(y + x,y')r] ;=;1y ;-;xy^2,y'
Expandindo o termo de sin:
5,y' ;-;sin(xy),y ;-;sin(xy),x,y' ;=;1y ;-;xy^2,y'

Passo 4

Agrupamos todos os termos que contêm y' no lado esquerdo e os demais no direito:
5,y' ;-;x,sin(xy),y' ;+;xy^2,y' ;=;1y ;+;sin(xy),y
Fatorando y':
y'l(5 - x,sin(xy) + xy^2r) =1y + y,sin(xy)

Passo 5

Finalmente isolamos y':
y' = 1y + y,sin(xy) 5 - x,sin(xy) + xy^2
Se quiser simplificar eliminando a fração dentro do denominador, multiplica-se numerador e denominador por y^2, obtendo uma forma equivalente:
y' =,y + y^3sin(xy),,5y^2 - x,y^2sin(xy) + x,

Resposta

boxed y' = 1y + y,sin(xy) 5 - x,sin(xy) + xy^2
\quad (forma direta)
boxed y' =,y + y^3sin(xy),,5y^2 - x,y^2sin(xy) + x,
\quad (forma sem fra\c{c}~oes dentro do denominador)

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