Determine, em cada caso, a solução do problema de valor inicial. Plote a trajetória da solução no plano x1, x2. Faça também um gráfico de x1 e de x2 em função de t.
x^prime=[cc2 & 8 -1 & -2] x, x(0)=[c2 -1].

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
x' = A,x, A = 2 & 8 -1 & -2,
com condição inicial
x(0) = 2 -1
O conteúdo envolve exponenciação de matriz e resolução de sistema homogêneo. Vamos usar a relação A^2=-4I para obter e^At de forma direta.

Passo 2

Calcular A^2:
A^2 = 2 & 8 -1 & -2^2 = 4-8 & 16-16 -2+2 & -8+4 = -4 & 0 0 & -4 = -4,I

Passo 3

Como A^2=-4I, a série de Taylor de e^At leva à forma
e^At = Icos(2t) + 12,Asin(2t)

Passo 4

Aplicar x(t)=e^Atx(0). Primeiro calculamos
A,x(0) = 2 & 8 -1 & -2 2 -1 = -4 0
Logo
x(t) = cos(2t),2 -1 + tfrac12sin(2t),-4 0

Passo 5

Separando as componentes, obtemos
x1(t) = 2cos(2t) ;-;2sin(2t), x2(t) = -cos(2t)

Passo 6

A trajetória no plano (x1,x2) é dada por
x1 = 2cos(2t)-2sin(2t), x2 = -cos(2t),
que é uma elipse centrada na origem (período pi).
Os gráficos de x1(t) e x2(t) são oscilações harmônicas:
x1(t)=2raiz2,sinl(2t-tfracpi4r), x2(t)=-cos(2t)

Resposta

A solução do PVI é
x(t) = 2cos(2t)-2sin(2t) -cos(2t) .
A trajetória l(x1(t),x2(t)r) é uma elipse centrada na origem e, em função de t, x1 e x2 são cossenos/senos de frequência 2.

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