Os vetores
u1=(1,1,1,1), u2=(1,2,3,2), u3=(2,5,6,4), u4=(2,6,8,5)
são linearmente dependentes? Em caso afirmativo, escreva um deles como uma combinação linear dos demais.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
u1=(1,1,1,1), u2=(1,2,3,2), u3=(2,5,6,4), u4=(2,6,8,5)
e pede para verificar se são linearmente dependentes. Como temos 4 vetores em espaço de dimensão 4, basta procurar uma combinação não trivial
c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=0
com (c1,c2,c3,c4)neq(0,0,0,0).

Passo 2

Escrevendo a soma componente a componente obtemos o sistema
c1+c2+2c3+2c4=0, c1+2c2+5c3+6c4=0, c1+3c2+6c3+8c4=0, c1+2c2+4c3+5c4=0
Para simplificar, subtraímos a primeira equação das outras três.

Passo 3

Fazendo as subtrações obtemos
c2+3c3+4c4=0, 2c2+4c3+6c4=0, c2+2c3+3c4=0
Da segunda equação menos duas vezes a primeira surge c3+c4=0, logo c3=-c4. Substituindo em c2+3c3+4c4=0 c2=-c4. Finalmente, voltando à primeira linha original, c1-c4=0 implica c1=c4.

Passo 4

Escolhendo c4=1 temos
(c1,c2,c3,c4)=(1,-1,-1,1),
o que dá a relação
u1-u2-u3+u4=0
Isolando u4,
u4=u2+u3-u1

Resposta

Sim, são linearmente dependentes. Por exemplo,
u4=u2+u3-u1

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