Seja W=(rra & b -b & a): a, b in R.
Encontre uma base e a dimensão de W

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = a & b -b & a:a,binR
de M2(R). O que precisamos é encontrar um conjunto de matrizes que gere W e seja linearmente independente (ou seja, uma base), e então determinar a dimensão de W.

Passo 2

Vamos escrever um elemento genérico de W como combinação de matrizes fixas. Seja
M(a,b)=a & b -b & a
Note que
M(a,b) = a1 & 00 & 1 + b0 & 1-1 & 0
Logo qualquer matriz de W é combinação linear de
M1=1 & 00 & 1 e M2=0 & 1-1 & 0,
ou seja, M1,M2 gera W.

Passo 3

Precisamos verificar que M1,M2 é linearmente independente. Suponha
c1M1+c2M2 = c1 & c2 -c2 & c1 = 0 & 00 & 0
Comparando entradas obtém-se c1=0 e c2=0. Portanto não há combinação linear não trivial que dê a matriz nula, e M1,M2 é linearmente independente.

Passo 4

Como M1,M2 gera W e é linearmente independente, é uma base de W. O número de vetores nessa base é 2, logo a dimensão de W é 2.

Resposta

Uma base de W é
1 & 00 & 1,;0 & 1-1 & 0,
e dim(W)=2.

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