Determine, em cada caso, V cap W e V+W :
V=(x, y, x-3 y) in R^3: x, y in R, W=(x, 0,2 x) in R^3: x in R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a interseção V cap W e a soma V + W dos subespaços de R^3 dados por
V = (x,y,x-3y)mid x,yinR, W = (t,0,2t)mid tinR
O conteúdo é teoria de subespaços: saber caracterizar vetor genérico em cada um, impor igualdade para interseção e parametrizar a soma.

Passo 2

Para achar Vcap W tomamos um vetor comum às duas descrições, ou seja
(x,y,x-3y) = (t,0,2t)
Comparando coordenadas vem y=0, x=t e x-3y = 2t. Como y=0 temos x=2t, mas também x=t, logo t=0 e x=0. Portanto o único vetor comum é o nulo:
Vcap W = (0,0,0)

Passo 3

Para descrever V+W, somamos vetores genéricos
v=(x,y,x-3y)in V, w=(t,0,2t)in W,
obtemos
v+w = (x+t,;y,;x-3y+2t)
Logo
V+W = (x+t,;y,;x-3y+2t)mid x,y,tinR

Passo 4

Mostramos que essa soma gera todo R^3. Dado um vetor arbitrário (u,v,w), queremos x,y,t tais que
x+t = u, y = v, x-3y+2t = w
Da segunda equação y=v. Substituindo nas outras duas e eliminando x:
x+t = u, x + 2t = w + 3v
Subtraindo a primeira da segunda obtemos t = (w+3v)-u. Então
x = u - t = 2u - w - 3v, y = v
Como existe solução para todo (u,v,w), concluímos que
V+W = R^3

Resposta

Vcap W = (0,0,0), V+W = R^3.

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