Determine, em cada caso,
e
:
a)
e
;
b)
e
e
e
;
c)
e
Quais das somas anteriores são diretas?
a)
b)
c)
Passo 1
O exercício pede, em cada um dos três casos, para determinar a união
e a soma de subespaços
e depois dizer quais dessas somas são diretas (i.e.
).
Passo 2
Caso (a):
Note que todo vetor de
satisfaz
, logo
. Portanto
Passo 3
Ainda em (a), como
, qualquer soma
com
e
fica em
. Por outro lado, dado
, escrevemos
com
e
, mostrando
. Assim
Passo 4
Em (a),
,
mas
, e de fato
. Logo a soma não é direta.
Passo 5
Caso (b):
Não há inclusão entre
e
, portanto
Passo 6
Para
somamos
Libertando
, mas observando que as quatro entradas satisfazem uma única relação linear
, conclui-se que
e
Passo 7
Em (b),
,
,
(as matrizes de todas as entradas iguais) e
. Logo a soma não é direta.
Passo 8
Caso (c):
Como não há inclusão, fica simplesmente
Passo 9
Para
tomamos
Definindo
e
, vemos que
que é um plano de dimensão
.
Passo 10
Em (c), se
então
e
, logo
. Assim a soma é direta.
Resposta
a)
,
. Soma não direta.
b) ,
. Soma não direta.
c) ,
. Soma direta.
b)
. Soma não direta.
c)