Determine, em cada caso, V cup W e V+W :
a) V=(x, y, z) in R^3 ; x=y e W=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z;
b) V=[ai j]2 times 2 ; a11=a22 e a12=a21 e W=[ai j]2 times 2 ; a11=a21 e a12=a22;
c) V=(x, x, x) ; x in R e W=(0,0, z) ; z in R
Quais das somas anteriores são diretas?

Passo 1

O exercício pede, em cada um dos três casos, para determinar a união
V cup W
e a soma de subespaços
V + W = v + w mid v in V,; w in W ,
e depois dizer quais dessas somas são diretas (i.e. V cap W = 0 ).

Passo 2

Caso (a):
V=(x,y,z)inR^3:x=y, W=(x,y,z)inR^3:x=y=z
Note que todo vetor de W satisfaz x=y, logo Wsubset V. Portanto
Vcup W=V

Passo 3

Ainda em (a), como Wsubset V, qualquer soma v+w com vin V e win W fica em V. Por outro lado, dado v=(x,x,z)in V, escrevemos
v=(x,x,x)+(0,0,z-x),
com (x,x,x)in W e (0,0,z-x)in V, mostrando Vsubset V+W. Assim
V+W=V

Passo 4

Em (a), dim V=2, dim W=1 mas dim(V+W)=2<2+1, e de fato Vcap W=Wneq0. Logo a soma não é direta.

Passo 5

Caso (b):
Não há inclusão entre e , portanto

Passo 6

Para somamos
Libertando , mas observando que as quatro entradas satisfazem uma única relação linear , conclui-se que e

Passo 7

Em (b), dim V=2, dim W=2, dim(Vcap W)=1 (as matrizes de todas as entradas iguais) e dim(V+W)=3<2+2. Logo a soma não é direta.

Passo 8

Caso (c):
V=(x,x,x):xinR, W=(0,0,z):zinR
Como não há inclusão, fica simplesmente
Vcup W=(x,x,x)mid xinR;cup;(0,0,z)mid zinR

Passo 9

Para V+W tomamos
(x,x,x)+(0,0,z)=(x,x,x+z)
Definindo u=x e v=x+z, vemos que
V+W=(u,u,v)mid u,vinR,
que é um plano de dimensão 2.

Passo 10

Em (c), se (x,x,x)=(0,0,z) então x=0 e z=0, logo Vcap W=(0,0,0). Assim a soma é direta.

Resposta

a) , . Soma não direta.
b) ,
. Soma não direta.
c) ,
. Soma direta.

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