Sejam A=[rrr-1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 0 & 0 & -1] e b=[l0 1 3].
Encontre os autovalores de A, os autovetores associados e as bases dos seus auto-espaços.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 0 & 0 & -1
e pede para encontrar seus autovalores, os autovetores associados e bases dos auto-espaços. Vamos usar a teoria de valores próprios: calcular o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e, para cada raiz lambda, resolver (A - lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular por blocos, o determinante de A - lambda I é o produto dos termos diagonais -1-lambda,;2-lambda,;-1-lambda. Logo, o polinômio característico é
det(A - lambda I) =(-1-lambda),(2-lambda),(-1-lambda)

Passo 3

Da fatoração acima, obtemos as raízes
lambda1 = 2, lambda2 = -1,
sendo lambda=-1 de multiplicidade algébrica 2 e lambda=2 de multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para lambda=2, montamos
A - 2I = -3 & 0 & 0 1 & 0 & -1 0 & 0 & -3 ,
e resolvemos (A-2I)x=0. As equações são
-3x1=0, x1 - x3=0, -3x3=0
Dessas vem x1=0 e x3=0, com x2 livre. Escolhendo x2=1 obtemos o autovetor
v2 = 010

Passo 5

Para , montamos
e resolvemos . A única equação não trivial é
ou seja . Tomando e , o vetor geral é

Passo 6

Portanto as bases dos auto-espaços são:
– Para lambda=2: (0,1,0)^T.
– Para lambda=-1: (-3,1,0)^T,,(1,0,1)^T.

Resposta

Autovalores:
lambda=2 (multiplicidade 1),
lambda=-1 (multiplicidade 2).
Autovetor e base de auto-espaço para lambda=2:
(0,1,0)^T
Autovetores e base de auto-espaço para lambda=-1:
(-3,1,0)^T,,(1,0,1)^T

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