Sejam A=[rrr-1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 0 & 0 & -1] e b=[l0 1 3].
Encontre, se possível, a inversa de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -1 & 0 & 0 1 & 2 & -1 0 & 0 & -1
e pede sua inversa. O conteúdo é matriz inversa, aproveitando que A é triangular, então basta verificar que det(A)neq0 e depois resolver sistemas A,vi = ei para obter as colunas de A^-1.

Passo 2

Como A é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal:
det(A) = (-1)cdot 2cdot(-1) = 2 neq 0,
logo A é invertível.

Passo 3

Para achar A^-1, resolvemos A,vi = ei para i=1,2,3. Escrevendo vi=(x,y,z)^T, o sistema
A,(x,y,z)^T = (-x,;x+2y-z,;-z)^T = ei
gera:
— Para e1=(1,0,0)^T: -x=1implies x=-1, -z=0implies z=0, x+2y-z=0implies -1+2y=0implies y=tfrac12.
— Para e2=(0,1,0)^T: -x=0implies x=0, -z=0implies z=0, x+2y-z=1implies 2y=1implies y=tfrac12.
— Para e3=(0,0,1)^T: -x=0implies x=0, -z=1implies z=-1, x+2y-z=0implies 2y+1=0implies y=-tfrac12.
Assim as colunas de A^-1 são
v1 = -1[4pt]tfrac12[2pt]0, v2 = 0[4pt]tfrac12[2pt]0, v3 = 0[4pt]-tfrac12[2pt]-1 ]

Resposta

A^-1 = -1 & 0 & 0 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & -1

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