Sejam A=[rrrr0 & 2 & 2 & 2 0 & -2 & 5 & 2 0 & 8 & 1 & 4 0 & 4 & -3 & 0] e b=[r0 1 -1 -1]. Resolva o sistema linear A x=b pelo método de eliminação de Gauss e descreva seu conjunto solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de eliminação de Gauss o sistema
A x = b,
onde
A= 0 & 2 & 2 & 2 0 & -2 & 5 & 2 0 & 8 & 1 & 4 0 & 4 & -3 & 0 , b=01-1-1
O que vamos usar é a eliminação de Gauss para triangularizar a parte não nula (que envolve x2,x3,x4) e depois fazer a substituição regressiva, identificando variáveis livres e escrevendo a descrição do conjunto solução.

Passo 2

Observando
Escrevendo a matriz aumentada em relação a ((x_2,x_3,x_4)]:

Passo 3

Aplicamos Gauss:
  1. Dividimos a primeira linha por 2:
R1 tfrac12R1: [1;1;1mid0]
  1. Eliminamos a coluna 1 nas outras linhas:
R2 R2+2R1, R3 R3-8R1, R4 R4-4R1,
ficando
1 & 1 & 1 &mid&0 0 & 7 & 4 &mid&1 0 & -7 & -4 &mid&-1 0 & -7 & -4 &mid&-1

Passo 4

Agora usamos a segunda linha como pivô:
  1. Dividimos R2 por 7:
R2 tfrac17R2: [0;1;tfrac47midtfrac17]
  1. Eliminamos a coluna 2 em R3,R4:
R3 R3+7R2, R4 R4+7R2,
e ambas viram [0;0;0mid0]. Assim temos duas equações pivô:
x2 + x3 + x4 = 0, x3 + tfrac47,x4 = tfrac17

Passo 5

Fazendo substituição regressiva escolhemos x4=t livre. Da segunda equação,
x3 = tfrac17 - tfrac47,t
Da primeira,
x2 = -x3 - x4 = -l(tfrac17 - tfrac47tr) - t = -tfrac17 - tfrac37t
E lembrando x1 também é livre, digamos x1=s. Assim o conjunto solução é
l(x1,x2,x3,x4)inR^4 mid x1=s,;x2=-tfrac17-tfrac37t,; x3=tfrac17-tfrac47t,; x4=t,; s,tinRr

Resposta

boxed &x1=s, x2=-tfrac17-tfrac37t, x3=tfrac17-tfrac47t, x4=t, &s,tinR

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