Encontre o determinante e as raízes da matriz abaixo. Mostre sua resolução em detalhes.
[cc-40 omega^2+400 & -200 -200 & -40 omega^2+400]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz 2x2 e precisa encontrar o determinante dela e as raízes, ou seja, os valores de omega que fazem esse determinante ser igual a zero. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes e a resolução de equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 2x2. Se a matriz é:
a & b c & d
O determinante (det) é calculado assim:
det = ad - bc
No nosso caso, a matriz é:
-40 omega^2+400 & -200 -200 & -40 omega^2+400

Passo 3

Vamos identificar os valores de a , b , c e d :
a = -40 omega^2 + 400, b = -200, c = -200, d = -40 omega^2 + 400

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula do determinante:
det = ad - bc
Substituindo os valores:
det = (-40 omega^2 + 400)(-40 omega^2 + 400) - (-200)(-200)

Passo 5

Vamos calcular ad :
(-40 omega^2 + 400)(-40 omega^2 + 400) = (-40 omega^2)^2 + 2 times (-40 omega^2) times 400 + 400^2
Calculando cada termo:
(-40 omega^2)^2 = 1600 omega^4
2 times (-40 omega^2) times 400 = -32000 omega^2
400^2 = 160000
Então:
ad = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 160000

Passo 6

Agora, calculando bc :
(-200)(-200) = 40000

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det = (1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 160000) - 40000
Simplificando:
det = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000

Passo 8

Agora, temos o determinante em função de omega :
det = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000
Para encontrar as raízes, ou seja, os valores de omega que fazem det = 0 , vamos resolver a equação quadrática:
1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000 = 0

Passo 9

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 1600:
omega^4 - 20 omega^2 + 75 = 0
Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja x = omega^2 . Assim, a equação fica:
x^2 - 20x + 75 = 0

Passo 10

Agora, vamos resolver a equação quadrática x^2 - 20x + 75 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 20 pm raiz(-20)^2 - 4 times 1 times 752 times 1 = 20 pm raiz400 - 3002 = 20 pm raiz1002 = 20 pm 102
Então, as soluções para x são:
x = 20 + 102 = 15 e x = 20 - 102 = 5

Passo 11

Lembrando que x = omega^2 , temos:
omega^2 = 15 Rightarrow omega = pm raiz15
omega^2 = 5 Rightarrow omega = pm raiz5

Resposta

O determinante da matriz é 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000 e suas raízes são omega = pm raiz15 e omega = pm raiz5 .

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