Determine se cada conjunto gera o ou o , respectivamente:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para ver se esses vetores geram todo (ou seja, se o espaço gerado tem dimensão 4). O conteúdo necessário é cálculo de posto de matriz via eliminação de Gauss para determinar a dimensão do espaço gerado (ou seja, verificar dependência linear).
Passo 2
Formamos a matriz cujas linhas são os vetores de :
O posto de A é a quantidade máxima de linhas (ou colunas) linearmente independentes, e coincide com dim(span(U)).
Vê-se que a última linha é múltiplo da terceira, sobrando três pivôs (colunas 1, 2 e 3).
Passo 4
Como encontramos três pivôs, o posto de A é
rank(A)=3
Isso significa que os quatro vetores de U são linearmente dependentes e que
diml(span(U)r)=3<4
Resposta
Os vetores de U geram apenas um subespaço de dimensão 3 em R^4; portanto, não geram todo R^4, mas sim um espaço de dimensão igual a 3 (isomorfo a R^3).