Determine se cada conjunto gera o R^3 ou o R^4, respectivamente:
U=(1,3,3,2),(2,6,9,7),(-1,-3,3,4),(1,1,1,1)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
U=(1,3,3,2),,(2,6,9,7),,(-1,-3,3,4),,(1,1,1,1)subseteqR^4
e pede para ver se esses vetores geram todo R^4 (ou seja, se o espaço gerado tem dimensão 4). O conteúdo necessário é cálculo de posto de matriz via eliminação de Gauss para determinar a dimensão do espaço gerado (ou seja, verificar dependência linear).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são os vetores de U:
A= 1 & 3 & 3 & 2 2 & 6 & 9 & 7 -1 & -3 & 3 & 4 1 & 1 & 1 & 1
O posto de A é a quantidade máxima de linhas (ou colunas) linearmente independentes, e coincide com dim(span(U)).

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss em A:
  1. R2 R2-2R1
  2. R3 R3+R1
  3. R4 R4-R1
    obtemos
1 & 3 & 3 & 2 0 & 0 & 3 & 3 0 & 0 & 6 & 6 0 & -2 & -2 & -1
Em seguida, trocando R2 com R4 e limpando, chega-se a
1 & 3 & 3 & 2 0 & -2 & -2 & -1 0 & 0 & 6 & 6 0 & 0 & 3 & 3
Vê-se que a última linha é múltiplo da terceira, sobrando três pivôs (colunas 1, 2 e 3).

Passo 4

Como encontramos três pivôs, o posto de A é
rank(A)=3
Isso significa que os quatro vetores de U são linearmente dependentes e que
diml(span(U)r)=3<4

Resposta

Os vetores de U geram apenas um subespaço de dimensão 3 em R^4; portanto, não geram todo R^4, mas sim um espaço de dimensão igual a 3 (isomorfo a R^3).

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