Verifique se S é subcorpo de K.
S=Z2 e K=(Z,+, cdot).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa verificar se o conjunto S = Z2 é um subcorpo do conjunto K = (Z, +, cdot) . Isso envolve entender os conceitos de corpos (ou campos) e subcorpos na matemática, especialmente em álgebra abstrata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto com duas operações, adição e multiplicação, que satisfazem certas propriedades, como a existência de inversos para essas operações (exceto o zero para a multiplicação). Por exemplo, Z2 é um corpo porque tem apenas dois elementos, 0 e 1, e todas as operações funcionam direitinho dentro dele.

Passo 3

Agora, para S = Z2 ser um subcorpo de K = (Z, +, cdot) , ele precisa ser um subconjunto de K que também é um corpo com as mesmas operações. Ou seja, todas as propriedades de corpo que valem em K devem valer em S .

Passo 4

Vamos verificar se S está realmente dentro de K . O conjunto Z2 tem apenas os elementos 0 e 1, que também estão em Z . Então, S subseteq K .

Passo 5

Agora, precisamos ver se as operações de adição e multiplicação em S são as mesmas que em K . Em Z2 , temos que 1 + 1 = 0 (porque é módulo 2). Já em Z , 1 + 1 = 2 , que é diferente de 0. Isso já mostra um problema, porque as operações não coincidem.

Passo 6

Além disso, para que S seja um subcorpo, cada elemento de S que não seja zero precisa ter um inverso multiplicativo dentro de S . Já que Z só tem inversos multiplicativos para 1 e -1 , e em Z2 temos apenas 1 como inverso multiplicativo, isso não é um problema específico aqui. O problema principal é a discrepância nas operações.

Passo 7

Como as operações de adição em S e K não coincidem, S não mantém a estrutura de corpo dentro de K . Portanto, S = Z2 não é um subcorpo de K = (Z, +, cdot) .

Resposta

Não, S = Z2 não é um subcorpo de K = (Z, +, cdot) .

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