Verifique que é base do testando as 2 condições da definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto forma uma base do . Para isso, precisamos entender o que é uma base e quais são as duas condições que precisam ser satisfeitas para que um conjunto de vetores seja uma base. Basicamente, vamos precisar checar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Em termos de matrizes, isso significa que o determinante formado por esses vetores não é zero.
No nosso caso, temos os vetores e . Vamos formar uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
det(A) = (3)(1) - (-1)(1) = 3 + 1 = 4
Como o determinante é diferente de zero (4 neq 0), isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
A segunda condição para ser uma base é que os vetores devem gerar todo o espaçoR^2. Isso quer dizer que qualquer vetor do R^2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Como já verificamos que os vetores são linearmente independentes e são dois vetores em R^2, isso automaticamente garante que eles geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor (x, y) em R^2 pode ser encontrado como:
(x, y) = a(3,1) + b(-1,1)
para alguns escalares a e b.
Resposta
Concluímos que o conjunto alpha = (3,1), (-1,1) é realmente uma base do R^2, pois satisfaz as duas condições necessárias: os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço R^2.