Verifique que alpha=(3,1),(-1,1) é base do R^2 testando as 2 condições da definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se o conjunto alpha = (3,1), (-1,1) forma uma base do R^2. Para isso, precisamos entender o que é uma base e quais são as duas condições que precisam ser satisfeitas para que um conjunto de vetores seja uma base. Basicamente, vamos precisar checar se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre independência linear. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear do outro. Em termos de matrizes, isso significa que o determinante formado por esses vetores não é zero.
No nosso caso, temos os vetores (3,1) e (-1,1). Vamos formar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 3 & -1 1 & 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
det(A) = (3)(1) - (-1)(1) = 3 + 1 = 4
Como o determinante é diferente de zero ( 4 neq 0), isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

A segunda condição para ser uma base é que os vetores devem gerar todo o espaço R^2. Isso quer dizer que qualquer vetor do R^2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Como já verificamos que os vetores são linearmente independentes e são dois vetores em R^2, isso automaticamente garante que eles geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor (x, y) em R^2 pode ser encontrado como:
(x, y) = a(3,1) + b(-1,1)
para alguns escalares a e b.

Resposta

Concluímos que o conjunto alpha = (3,1), (-1,1) é realmente uma base do R^2, pois satisfaz as duas condições necessárias: os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço R^2.

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