Determine se o vetor \mathbf{v} pertence ao espaço gerado pelo conjunto S.
(d) \mathbf{v}=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right), \quad S=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right)\right\} \operatorname{em} M_{2 \times 2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix}
pertence ao subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado por
S=\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \right\}.
O conteúdo é “verificar pertencimento a um espaço gerado”: buscamos coeficientes \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha I + \beta A + \gamma B = \mathbf{v}.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear
\alpha \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha+\beta & \beta\\gamma & \alpha+\gamma\end{pmatrix}.
Essa soma deve ser igual a
\begin{pmatrix}3 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Igualando cada entrada obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + \beta = 3,\\\ \beta = -1,\\\ \gamma = 0,\\\ \alpha + \gamma = 2. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem \beta=-1.
Da terceira vem \gamma=0.
Da primeira \alpha = 3 - \beta = 3 -(-1) = 4.
Mas então a quarta exigiria
\alpha+\gamma = 4 + 0 = 4 = 2,
o que é impossível. Não há solução para (\alpha,\beta,\gamma).

Resposta

\mathbf{v} não pertence ao espaço gerado por S.

Exercícios relacionados