Determine se o vetor \mathbf{v} pertence ao espaço gerado pelo conjunto S.
(c) \mathbf{v}=3 x^{2}-x+4, \quad S=\left\{x^{2}+2, x-1,2 x^{2}-x\right\} em \mathbb{P}_{4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio
\mathbf{v}=3x^{2}-x+4
pertence ao espaço gerado pelo conjunto
S=\{\,x^{2}+2,\;x-1,\;2x^{2}-x\}
em \mathbb{P}_{4}.
O método geral é tentar escrever \mathbf{v} como combinação linear dos polinômios de S.

Passo 2

Se existem escalares a,b,c tais que
a\,(x^{2}+2)\;+\;b\,(x-1)\;+\;c\,(2x^{2}-x) =\;3x^{2}-x+4,
então \mathbf{v}\in\mathrm{Span}(S). Vamos expandir o lado esquerdo:
a\,x^{2}+2a \;+\; b\,x - b \;+\; 2c\,x^{2}-c\,x =\;(a+2c)\,x^{2} \;+\;(b-c)\,x \;+\;(2a - b).

Passo 3

Comparando coeficientes de x^{2}, de x e do termo constante com 3x^{2}-x+4, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2c = 3,\\\ b - c = -1,\\\\ 2a - b = 4. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação vem
b = c - 1.
Substituindo em 2a - b = 4\) dá \[2a - (c-1) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2a - c = 3.
Agora o sistema reduzido é
\begin{cases} a + 2c = 3,\\\\ 2a - c = 3. \end{cases}
Da segunda (c = 2a -3]. Substituindo na primeira:
a + 2(2a -3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5a -6 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{9}{5}.
Logo
c = 2\cdot\tfrac{9}{5} - 3 = \tfrac{3}{5}, \quad b = c -1 = -\tfrac{2}{5}.

Passo 5

Como encontramos uma solução (a,b,c)=(\tfrac{9}{5},-\tfrac{2}{5},\tfrac{3}{5}), concluímos que existe combinação linear que gera \mathbf{v}. Portanto \mathbf{v}\in\mathrm{Span}(S).

Resposta

Sim.
Em particular,
3x^{2}-x+4 =\tfrac{9}{5}\,(x^{2}+2) \;-\;\tfrac{2}{5}\,(x-1) \;+\;\tfrac{3}{5}\,(2x^{2}-x).

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