Determine se o vetor \mathbf{v} pertence ao espaço gerado pelo conjunto S.
(c) \mathbf{v}=3 x^{2}-x+4, \quad S=\left\{x^{2}+2, x-1,2 x^{2}-x\right\} em \mathbb{P}_{4}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio \mathbf{v}=3x^{2}-x+4
pertence ao espaço gerado pelo conjunto
S=\{\,x^{2}+2,\;x-1,\;2x^{2}-x\}
em \mathbb{P}_{4}.
O método geral é tentar escrever \mathbf{v} como combinação linear dos polinômios de S.
Comparando coeficientes de x^{2}, de x e do termo constante com 3x^{2}-x+4, obtemos o sistema
\begin{cases} a + 2c = 3,\\\ b - c = -1,\\\\ 2a - b = 4. \end{cases}
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação vem
b = c - 1.
Substituindo em 2a - b = 4\) dá
\[2a - (c-1) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2a - c = 3.
Agora o sistema reduzido é
\begin{cases} a + 2c = 3,\\\\ 2a - c = 3. \end{cases}
Da segunda (c = 2a -3]. Substituindo na primeira: a + 2(2a -3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5a -6 = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = \tfrac{9}{5}.
Logo c = 2\cdot\tfrac{9}{5} - 3 = \tfrac{3}{5}, \quad b = c -1 = -\tfrac{2}{5}.
Passo 5
Como encontramos uma solução (a,b,c)=(\tfrac{9}{5},-\tfrac{2}{5},\tfrac{3}{5}), concluímos que existe combinação linear que gera \mathbf{v}. Portanto \mathbf{v}\in\mathrm{Span}(S).