Encontre a solução geral da EDO usando o método indicado:
Método dos coeficientes indeterminados
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=8 x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y'' - 5y' + 4y = 8x^2 + 3
pelo método dos coeficientes indeterminados. O plano é:
  1. Resolver a equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular polinomial de grau 2.
  3. Combinar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea é
y_h'' - 5y_h' + 4y_h = 0.
O polinômio característico é
r^2 - 5r + 4 = 0,
cuja solução dá as raízes r=1 e r=4. Portanto
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{4x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é o polinômio 8x^2+3, suponho uma solução particular
y_p(x) = A x^2 + B x + C.
Então
y_p'(x) = 2A x + B, \qquad y_p''(x) = 2A.

Passo 4

Substituo em y'' - 5y' +4y =8x^2+3:
2A - 5(2A x + B) + 4(Ax^2 + Bx + C) =8x^2 + 0x + 3.
Expandindo e coletando termos:
4A\,x^2 +(-10A+4B)x + (2A -5B +4C) =8x^2 +0x +3.
Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante:
4A = 8 \implies A = 2,
-10A + 4B = 0 \implies -20 + 4B =0 \implies B = 5,
2A -5B +4C = 3 \implies 4 -25 + 4C =3 \implies 4C =24 \implies C =6.
Assim
y_p(x) = 2x^2 + 5x + 6.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{4x} + 2x^2 + 5x + 6.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{4x} + 2x^2 + 5x + 6.

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