Encontre a solução geral da EDO usando o método indicado:
Método da variação dos parâmetros
x^{2} y^{\prime \prime}-5 x y^{\prime}+8 y=8 x^{6}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^{2}y''-5x\,y'+8y=8x^{6}
usando o método da variação dos parâmetros. Trata-se de uma equação de Euler–Cauchy, em que primeiro vamos obter a solução geral da homogênea e depois aplicar variação dos parâmetros para achar uma particular.

Passo 2

Para a homogênea associada
x^{2}y''-5x\,y'+8y=0
usamos a ansatz y=x^{m}. Substituindo, obtemos a equação característica
m(m-1)-5m+8=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}-6m+8=0 \quad\Longrightarrow\quad m=2,4.
Logo
y_{1}(x)=x^{4},\quad y_{2}(x)=x^{2},
e a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{2}.

Passo 3

Para variar os parâmetros colocamos a EDO na forma padrão
y''-{\tfrac{5}{x}}\,y'+{\tfrac{8}{x^{2}}}y =8x^{4}.
Aqui P(x)=-5/x, Q(x)=8/x^{2} e G(x)=8x^{4}. O Wronskiano de y_{1},y_{2} é
W=\begin{vmatrix}x^{4}&x^{2}\\\ 4x^{3}&2x\end{vmatrix} =2x^{5}-4x^{5}=-2x^{5}.

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_{1}'=-\frac{G(x)\,y_{2}}{W},\quad u_{2}'=\frac{G(x)\,y_{1}}{W}.
Substituindo,
u_{1}'=-\frac{8x^{4}\cdot x^{2}}{-2x^{5}} =\frac{-8x^{6}}{-2x^{5}}=4x, \quad u_{2}'=\frac{8x^{4}\cdot x^{4}}{-2x^{5}} =-4x^{3}.
Integrando,
u_{1}=\int4x\,dx=2x^{2}, \quad u_{2}=\int(-4x^{3})\,dx=-x^{4}.

Passo 5

A solução particular é
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} =2x^{2}\cdot x^{4}+(-x^{4})\cdot x^{2} =2x^{6}-x^{6}=x^{6}.
Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=y_{h}+y_{p} =C_{1}x^{4}+C_{2}x^{2}+x^{6}.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{2}+x^{6}.

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